Угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Угловое ускорение тела характеризует скорость изменения угловой скорости во времени.

Угловое ускорение является скользящим вектором, направленным по оси вращения тела.

Если то вращение тела называется ускоренным.

Если то вращение тела называется замедленным.

Если то вращение тела называется равномерным.

Если то вращение тела называется равнопеременным.

Скорость и ускорениет точек, вращающегося вокрук неподвижной оси

Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется линейной или окружной скоростью.

Пусть за элементарное время dt точка M совершает элементарное перемещение ds=Rdφ

Тогда или

Линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, по величине равна произведению радиуса вращения на величину угловой скорости.

Теорема Эйлера. Вектор линейной скорости точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению угловой скорости на радиус-вектор точки: Доказательство

Тогда из определения о векторном произведении двух векторов и получаем

Где

Тогда

Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Согласно теореме о разложении ускорения имеем:

где

Тогда

Нормальное ускорение точки тела при вращении его вокруг неподвижной оси равно произведению радиуса вращения на квадрат угловой скорости.

Касательное ускорение равно произведению радиуса вращения на угловое ускорение.

Скорость и ускорение точек тела при плоско-паралеьном движении

Плоско-параллельным или плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Теорема. Перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить путем поступательного перемещения вместе с полюсом и вращения вокруг полюса. При этом угол поворота не зависит от выбора полюса.

Доказательство

или ,

Кинематические уравнения плоско-параллельного движения

матрица вращения подвижной системы координат Аxh

Скорость точек тела при плоско-параллельном движении

Теорема. При плоско-параллельном движении твердого тела скорость любой ее точки равна векторной сумме скорости полюса и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса.

Доказательство

где

жуйе

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Теорема. Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Доказательство

где тогда

Ускорения точек при плоско-параллельном движении

Теорема. Ускорение любой точки тела при плоско-параллельном движении равно векторной сумме ускорения полюса, вращательного (тангенциального) и центростремительного (нормального) ускорений.

Доказательство

Или

где

тогда

Сложное движение точки. Абсолютная и относительная производные вектора.

Сложное движение точки

Движение точки M относительно абсолютной системы координат OXYZ называется абсолютным.

Движение точки M относительно подвижной системы координат Axyz называется относительным.

Движение, совершаемое подвижной системы координат Axyz по отношению к абсолютной системе координат OXYZ, является для точки M переносным движением.

Уравнения абсолютного движения точки M:

Уравнения относительного движения точки M:

Абсолютная и относительная производные вектора

Обозначим:

- абсолютная производная вектора

- относительная производная вектора

Согласно формуле Эйлера:

Тогда

Следовательно

Теорема о сложении скоростей и ускорении

Теорема о сложении скоростей

Теорема. Абсолютная скорость точки равна векторной суммевввввввввввв переносной и относительной скоростей.

где

Где или

Тогда где

Следовательно

Теорема о сложении ускорений

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

Доказательство

где -абс. ускорение точки

- ускорение точки А

- угловое ускорение подв. системы координат Axyz

где - относительная скорость

где

- относительное ускорение

Тогда

Где - переносное ускорение

Следовательно где

- поворотное (кориолисово) ускорение

Окончательно получим

где

Кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

1) при , это будет при поступательном перемещении подвижной системы координат;

2) когда параллельна ;

3) когда .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: