Равновесие тела при наличии трения качения

- момент трения качения

Откуда

С увеличением растет расстояние h и может нарушиться равновесие

- коэффициент трения качения

или

Способы задания движения точки

Движение точки можно задать одним из следующих трех способов:

1) векторный;

2) координатный;

3) естественный.

Векторный способ задания движения точки

(6,2)

Уравнение (6.2) называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме.

- является однозначной, непрерывной и дважды дифференцируемая функция.

Геометрическое место концов переменного вектора называется годографом. Следовательно, траектория точки М является годографом радиус-вектора

Координатный способ задания движения точки

Движение точки может быть задано в:

1) декартовых координатах;

2) цилиндрических координатах;

3) сферических координатах;

4) полярных координатах.

Задание движения точки в декартовых координатах

(6.3)

Уравнение (6.3) называется кинематическими уравнениями движения точки в параметрической форме.

Исключая из уравнений (6.3) параметр t, получаем уравнение траектории в явной форме.

Формула, связывающая векторный и координатный способы задания движения точки:

Задание движения точки в цилиндрических координатах

ρ-радиус, φ-азимут, z-аппликата

Задание движения точки в сферических координатах

где r - радиус, φ – полюсный угол.

Связь цилиндрических и сферических координат с декартовыми:

Задание движения точки в полярных координатах

Формулы связывающие полярные координаты с декартовыми:

Естественный способ задания движения точки

Естественным способом задания движения точки удобно пользоваться, когда траектория точки известна заранее. (6.9)

Для задания движение точки естественным способом, необходимо знать:

1) траекторию точки;

2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета;

3) закон движения точки вдоль траектории в виде (6.9).

Скорость движения точки в различных системах координат

Скорость движения точки

где - вектор перемещения точки.

следовательно

Вектор скорости точки равен первой производной по времени от радиуса-вектора точки.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки.

Скорость точки в декартовой системе координат

Пусть движение точки задано координатным способом:

тогда

По определению

Тогда

Следовательно

Проекции скорости на оси декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

Скорость точки в полярных координатах

Пусть движение точки в плоскости Оху задано в полярных коодинатах:

тогда

- проекция скорости на радиальное направление r

- проекция скорости на трансверсальное направление j

Скорость точки в естественных координатах

Пусть движение точки задано естественным способом:

или

Обозначим

где - единичный вектор, направленный по касательной к траектории. Тогда

Проекция вектора скорости на направление орта касательной равна первой производной по времени от дуговой координаты.

Ускорения движения точки в различных системах координат

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения во времени скорости движения точки, называется ускорением.

Следовательно или

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

Ускорение точки в декартовой системе координат

Пусть движение точки задано координатным способом:

тогда

Продифференцируем

По определению

Тогда

Следовательно

Проекции ускорения на оси декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости на те же оси или вторым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Ускорение точки в полярных координатах

Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах:

тогда

Из рис. видно, что

С другой стороны

тогда

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: