Экзаменационный комплект № 3 (углубленный уровень)

Билет № 1

1. Признаки равенства треугольников.

2. Соотношение между вписанным и центральным углами в окружности, опирающимися на одну дугу.

3. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD.

4. Дан правильный 30-угольник A1A2...A30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4.

Билет № 2

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Докажите, что если через произвольную точку S провести две прямые, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS.

3. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Билет № 3

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

2. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента.

3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

4. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон.

Билет № 4

1. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности.

2. Сумма углов выпуклого n-угольника.

3. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника?

4. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите AO/AM.

Билет № 5

1. Признаки подобия треугольников.

2. Многоугольники. Правильные многоугольники. Величина угла в правильном n-угольнике.

3. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма.

4. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности.

Билет № 6

1. Признаки параллельности прямых.

2. Теорема Пифагора.

3. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.

4. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах.

Билет № 7

1. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы равны.

2. Выведите формулу R = abc/4S, где R – радиус описанной около треугольника окружности; а, b, с – длины его сторон, S – площадь треугольника.

3. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

4. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата.

Билет № 8

1. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей.

2. Формула Герона.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 4?2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.

4. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON.

Билет № 9

1. Свойства параллелограмма.

2. Свойство биссектрисы треугольника; длина биссектрисы.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4.

4. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.

Билет № 10

1. Свойства и признаки ромба, прямоугольника, квадрата.

2. Теорема синусов. Докажите, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно диаметру описанной окружности.

3. Основание треугольника равно ?2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.

4. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной окружности.

Билет № 11

1. Теорема Фалеса и её обобщение (теорема о пропорциональных отрезках).

2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Решение прямоугольных треугольников.

3. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей.

4. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.

Билет № 12

1. Свойство средней линии трапеции.

2. Основные тригонометрические тождества.

3. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.

4. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделён на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD?

Билет № 13

1. Уравнение прямой и окружности. Геометрический смысл коэффициентов k и b в уравнении y = kx + b. Взаимное расположение прямой и окружности.

2. Площадь четырёхугольника.

3. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

4. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см.

Билет № 14

1. Векторы; действия с векторами. Скалярное произведение векторов.

2. Свойство медиан треугольника. Длина медианы.

3. Из одной точки проведены к окружности две касательные, каждая длиной 12 см. Расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.

4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника.

Билет № 15

1. Признаки параллелограмма.

2. Теорема косинусов.

3. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см.

4. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ??

Билет № 16

1. Критерий описанного около окружности четырёхугольника.

2. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

3. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС.

4. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5, а острый угол параллелограмма – 60°.

Билет № 17

1. Геометрическое место центра вписанной в треугольник окружности.

2. Площадь параллелограмма.

3. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.

4. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия?

Билет № 18

1. Теорема о разложении вектора по базису.

2. Докажите, что S = рr, где S– площадь треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

3. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.

4. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1.

Билет № 19

1. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника.

2. Площадь треугольника.

3. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD.

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.

Билет № 20

1. Свойство средней линии треугольника.

2. Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника. Площадь правильного многоугольника.

3. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: