Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°.

Примеры решения задач

127. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции (рис. 188). (1)

Рис. 188.

Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то АВ = CD. Пусть АВ = CD = а; тогда из (1) следует AD + ВС = 2а и

По условию АВ + CD + EF = 18; тогда с учетом (2) получаем: а + а + а = 18; а = 6. Периметр трапеции PABCD = АВ + CD + AD + BC = 2(АВ + CD) = 4а = 24.

Ответ: 24.

128. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (рис. 189). (2)

Рис. 189.

Решение. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; из прямоугольного треугольника АВК

Пусть BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см; AD = 9 + 16 = 25 см.

Ответ: 9 см; 25 см.

Задачи для самостоятельного решения

129. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Найдите сумму углов АОВ и COD. (1)

130. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и b. (2)

131. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции. (3)

Задачи на вписанные углы

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Примеры решения задач

132. Найдите ?ТОК, если О – центр окружности и ?ТЕК = 120° (рис. 190).(1)

Рис. 190.

Решение. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то

Ответ: 120°

133. Дан правильный 30-угольник А1А2 ... А30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4 (рис. 191). (2)

Рис. 191.

Решение. Так как многоугольник А1А2 ... A30 – правильный, то ?А3ОА4 = 360°/30 = 12°. Далее, ?А3А1А4 = 1/2 ?А3ОА4 = 6° (вписанный угол, опирающийся на дугу А3А4). ?А1ОА3 = 2 ? 12° = 24°;

Требуемый нам угол х является внешним углом к треугольнику А3А1В. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных, то х = 6° + 78° = 84°.

Ответ: 84°.

134. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ? (рис. 192). (3)

Рис. 192.

Решение. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то ?CAB = ?CDB = ?. Из равенств ?DCE + CDB = ?/2, ?КЕА + ?САВ = ?/2, следует, что ?DCE = ?КЕА = ?СЕМ. Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. е. СМ = ЕМ. Далее, ?MED = ?/2 – ?СЕМ = ?/2 – (?/2 – ?) = ?CDB.

Итак, треугольник EMD равнобедренный, или DM = ЕМ. Этим доказано, что СМ = DM или что ЕМ – медиана треугольника CED.

Из прямоугольного треугольника ABE находим

АЕ = АВ ? cos?ЕАВ = АВ ? cos?CAB = 4 ? cos ?.

Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем

и, наконец,

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

135. Окружности с центрами О и О1 касаются внутренним образом. Найдите угол В (рис. 193). (1)

Рис. 193.

136. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. (2)

137. а) Докажите, что

(рис. 194);

Рис. 194.

б) докажите, что

(рис. 195). (3)

Рис. 195.

138. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, AB = 1, ?ABD:?DBC = 4:3. (3)

Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196).

Рис. 196.

Для обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD.

В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.

Примеры решения задач

139. Дано (рис. 197):

ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)

Рис. 197.

Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);

Ответ:

140. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)

Рис. 198.

Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

141. ОА – касательная; ОВ = 4; ВС = 3. Найдите длину ОА (рис. 199). (1)

Рис. 199.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: