Распределение Максвелла-Больцмана. Распределение Больцмана.

5.1. Распределение Максвелла-Больцмана

В начале настоящей главы мы установили, что для классической подсистемы её энергия может быть представлена в виде суммы двух независимых слагаемых:

,

поскольку кинетическая энергия есть функция импульсов (скоростей) частиц, а потенциальная энергия - функция координат. Поэтому вероятность для подсистемы находится в состоянии с энергией определяется как

. (5.1)

Используя распределение Гиббса, мы можем записать, что вероятность молекуле находиться в состоянии с энергией есть

. (5.2)

Выраженное таким образом распределение вероятностей для одной частицы называется распределением Максвелла-Больцмана.

Средняя энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы. Закон Дюлонга и Пти.

Распределение Максвелла-Больцмана позволяет получить теплоемкость твердых тел при высоких температурах , при которых применимо классическое описание.

Равновесное состояние кристалла – периодическое расположение атомов в пространстве. Однако, атомы не находятся в покое, они совершают малые тепловые колебания относительно положений равновесия. Рассмотрим колебания, совершаемые атомом вдоль оси . Энергия такого осциллятора равна

где масса атома, упругая постоянная. Статистическое описание атомов с энергией можно дать с помощью распределения Максвелла-Больцмана, которое для одного осциллятора имеет вид:

Здесь - нормировочная постоянная, выражаемая через произведение 2-х постоянных: , которые равны, соответственно:

.

Сосчитаем среднюю энергию осциллятора, совершающего колебания вдоль оси .

.

Выше, используя интеграл Пуассона, мы получили

,

аналогично

.

Т.о.,

.

Итак, на одну колебательную степень свободы приходится энергия . Из расчета видно, что первое слагаемое возникает при усреднении кинетической энергии колебательного движения, а второе слагаемое обусловлено потенциальной энергией колебательного движения.

Здесь мы окончательно доказали теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы, согласно которой на каждую колебательную степень свободы приходится энергия (ранее было показано, что на поступательную или вращательную степени свободы приходилось по ).

Если представить колебательное движение атомов в кристалле в виде совокупности независимых движений вдоль трех ортогональных осей , то средняя энергия колебаний атома равна

,

а для тела, состоящего из атомов:

.

Если рассматривать 1 моль вещества, то и

,

где температура измеряется в Кельвинах.

Эта энергия играет роль внутренней энергии в термодинамике, поэтому молярная теплоемкость твердого тела при постоянном объеме оказывается равной

.

Т.о., мы пришли к правилу, которое было установлено опытным путем и получило название закона Дюлонга и Пти:

Молярная теплоемкость всех твердых тел при высоких температурах ( ) не зависит от температуры и равна .

5.2. Распределение Больцмана.

Пусть интересующая нас подсистема (газ) находится во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы есть функция только её координат (например, гравитационное поле).

Основываясь на соотношении (5.1), т.е. в силу независимости событий иметь определенные значения как кинетической, так и потенциальной энергий, можно рассмотреть отдельно распределение частиц во внешнем поле :

, (5.3)

что дает вероятность нахождения частицы в объеме вблизи точки с координатами .

Пусть полное число молекул в подсистеме. Так как

,

то число молекул в элементе пространственного объема определяется формулой:

(5.4)

Смысл множителя легко установить, если ввести число частиц в единице объема, т.е. концентрацию частиц (плотность числа частиц):

(5.5)

Тогда, очевидно, что произведение равно плотности числа частиц в точках, где , т.е. . Тогда выражение (5.5) принимает вид

(5.6)

Полученная формула носит название распределения Больцмана.

Примечание: если отсчет идет от точки, где , тогда распределение Больцмана имеет вид:

(5.7)

Примеры применения распределения Больцмана.

1). Распределение частиц в сосуде по высоте в однородном поле тяжести ( ).

Для Земли поле тяжести может считаться однородным для небольших высот ( ), где радиус Земли.:

,

Тогда получаем известную барометрическую формулу Больцмана:

(5.8)

Здесь - молярная масса газа, - универсальная газовая постоянная. Воспользовавшись связью между концентрацией газа и давлением, получаем барометрическую формулу Больцмана в виде:

(5.9)

Концентрация частиц убывает с высотой, причем концентрация более тяжелых частиц убывает с высотой быстрее. Это создает подъемную силу (для более легких объектов - воздушные шары).

Для более высоких температур распределение высотой становится более равномерным (см. рисунок). При этом полное число частиц сосуде N постоянно:

.

Здесь площадь сечения сосуда, а его полная высота.

2). Распределение частиц во вращающемся сосуде.

Сила инерции и потенциальная энергия , тогда распределение частиц имеет вид:

(5.10)

Таким образом, концентрация молекул растет с радиусом.

3). О распределении молекул в атмосфере планет.

Потенциальная энергия молекул равна: и в равновесном состоянии получаем следующее распределение:

.

Однако, если бы это распределение было справедливо на всех расстояниях от планеты, то при мы бы получили

.

Т.е. получаем конечное число для концентрации на бесконечности, что невозможно, т.к. объем вокруг планеты бесконечен, а общее число молекул в атмосфере конечно. Получаем, что равновесие возможно лишь при , т.е. атмосфера не должна быть в равновесии.

Отсюда вывод: невозможность существования равновесного состояния планетной атмосферы. Это связано с тем, что разность потенциальной энергии молекулы в поле тяготения планеты на поверхности и на бесконечности остается конечной.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: