Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости.

6.5. Функция распределения по скоростям.

Пусть система состоит из большого числа невзаимодействующих молекул, и нет внешних полей, тогда мы интересуемся только вероятностью . Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий образующих её частиц:

, (6.25)

где - кинетическая энергия молекулы.

Каждую частицу можно рассматривать как квазинезависимую подсистему, поэтому фазовый объем системы распадается на произведение множителей, каждый из которых определяет фазовый объем для отдельной молекулы:

, (6.26)

а вероятность нахождения системы в состоянии с энергией равна

Поскольку все частицы одинаковы, то искомую вероятность можно записать в виде произведения:

, (6.27)

где величина – пропорциональна распределению вероятностей по абсолютным значениям скоростей для каждой отдельной молекулы, где

, . (6.28)

Элемент объема , можно представить в виде:

или .

Итак, функция распределения по кинетическим энергиям для одной молекулы имеет вид:

. (2.5)

Вероятность молекуле иметь кинетическую энергию в интервале от до , обладая при этом определенными проекциями импульсов ( ), равна

. (2.6)

Вероятность молекуле иметь кинетическую энергию в интервале от до , обладая при этом определенными проекциями скоростей ( ), равна

. (2.7)

Фазовый объем, соответствующий кинетической энергии, лежащей в диапазоне от до при всех возможных импульсах или скоростях, определяется объемом шарового слоя в пространстве импульсов или скоростей, соответственно

или . (2.8)

Тогда вероятность того, что молекула будет иметь кинетическую энергию от до при всех возможных значениях импульсов, равна

. (2.9)

Иногда бывает удобнее определить ту же вероятность, записав её через возможные значения скоростей:

. (2.10)

Отметим, что температура во всех приведенных выражениях определяется по энергетической шкале и связана с термодинамической температурой как .

Постоянную найдем из условия нормировки, взяв интеграл по всем возможным скоростям молекул, лежащим в пределах от до :

. (2.11)

Для вычислений используем известный табличный интеграл - интеграл Пуассона:

. (2.12)

Тогда, положив в (2.11) и , находим

или

Отсюда

. (2.13)

Окончательно получаем

, (2.14)

Полученное выражение (2.14) – распределение Максвелла по скоростям – определяет вероятность того, что скорость молекулы лежит в диапазоне значений от до , или в шаровом слое фазового пространства скоростей от до .

По поводу этого распределения Больцман писал: «Устанавливающееся само собой наиболее вероятное распределение, которое мы называем распределением Максвелла по скоростям (ибо он первый нашел для него математическое выражение в специальном случае), не соответствует какому-то особому состоянию, противопоставляемому бесконечно бо^/льшему набору других состояний, соответствующих немаксвелловским распределениям. Скорее, напротив, для подавляющего числа возможных состояний характерно распределение Максвелла, и число возможных распределений скоростей, существенно отличающихся от максвелловского, исчезающе мало».

2.2. Свойства распределения Максвелла.

1). Вероятность, или лучше плотность вероятности , имеет максимум при некоторой скорости молекулы. Действительно, фазовый объем растет пропорционально , а экспоненциальный множитель быстро убывает с увеличением скорости молекулы.

Построим график функции и найдем значение

скорости , при которой плотность вероятности

распределения по скоростям имеет максимум.

;

; . (2.15)

Наиболее вероятная скорость растет с

температурой: , а вероятность того, что

молекула имеет скорость в окрестности ,

уменьшается.

Если площадь под кривой нормирована на единицу, то площадь заштрихованной области (см. предыдущий рис.) равна вероятности того, что скорость молекулы лежит в пределах от до . В том случае, когда нас интересует конечный интервал скоростей от до , то

, . (2.16)

2.3. Характерные средние скорости.

1).Средняя скорость. По определению

Замена переменных: , дает

Далее интегрируем по частям ( ; , ):

. (2.17)

2). Средняя квадратичная скорость.

По определению:

Вспомним, что

Здесь . Откуда

И средняя квадратичная скорость равна

. (2.18)

Используя (2.18), можно получить среднюю кинетическую энергию молекулы:

. (2.19)

Приведенный рисунок иллюстрирует расположение

характерных скоростей под кривой

функции распределения .

Рассмотрим подсистему, содержащую одинаковых невзаимодействующих частиц. Обозначим через вероятность того, что такая подсистема обладает энергией в интервале от до . Тогда