Распределение Максвелла по проекциям скорости.

При экспериментальной проверке распределения Максвелла, как правило, регистрируются молекулы, летящие в одну сторону. Поэтому возникает практический интерес к определению составляющих скоростей молекул вдоль определенных направлений, например, вдоль оси : .

3.1. Распределение по проекциям скорости.

Воспользуемся микрораспределением, т.е. тем, что вероятность молекуле иметь определенную энергию равна произведению распределения Гиббса на соответствующий фазовый объем:

(3.1)

Подставляя кинетическую энергию одной молекулы , как и в предыдущем параграфе, рассмотрим фазовый объем, соответствующий элементу объема в пространстве скоростей: . Тогда получаем распределение Максвелла, дающее вероятность того, что молекула имеет скорость, принадлежащую диапазону значений проекций на оси координат:

(3.2)

Эту вероятность можно представить в виде произведения:

,

где каждый из сомножителей представляет собой распределение Максвелла (1859 г.) для проекций скорости молекул. Так, распределение Максвелла по ой проекции скорости:

(3.3)

. (3.4)

Это распределение симметрично относительно начала

координат и имеет максимум при проекции скорости

. Положительные и отрицательные значения

имеют одинаковую вероятность, поэтому наиболее

вероятная проекция и средняя проекция скорости равны

нулю

Проиллюстрировав зависимость фазового объема от скорости, можно пояснить, почему наиболее вероятная проекция скорости равна нулю.

Плотность фазовых точек наибольшая в центре системы координат:

.

В распределении по абсолютным значениям скорости элементарный

фазовый объем растет с увеличением абсолютного значения

скорости:

.

Поэтому, как мы уже отмечали, максимум функции распределения по

скоростям сдвигается относительно начала координат из-за более

быстрого ( ) на начальном участке роста элементарного фазового

объема по сравнению с экспоненциальным спадом плотности

фазовых точек.

Функция распределения , как следует из (3.4), не зависит от

величины элементарного фазового объема , который одинаков всюду

вдоль оси . Поэтому наибольшей будет вероятность обнаружения молекулы

в окрестности точки , где плотность фазовых точек максимальна.

Качественная зависимость функции распределения от температуры

показана на следующем рисунке. Очевидно, что чем

выше температура, тем положе становится кривая,

поскольку плотность фазовых точек в начале координат,

как это следует из (3.1), падает с температурой, а

площади под кривыми одинаковы и нормированы на

единицу, в чем легко убедиться. Это следует

. (3.5)

Для подсистемы, состоящей из молекул, вероятность того, что рассматриваемая подсистема обладает кинетической энергией , находясь в определенном объеме фазового пространства , равна:

. (3.6)

Это распределение справедливо для любой системы с произвольным взаимодействием между молекулами, подчиняющейся законам классической физики.

3.2. Средняя кинетическая энергия на одну поступательную степень свободы

Вычислим среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступательного движения молекулы, т.е. сосчитаем - долю кинетической энергии, относящуюся к движению по оси :

, (3.7)

(3.8)

Так как

получаем

(3.9)

Итак, кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна “половинке” , причем

(3.10)

Тогда среднее значение полной энергии равно

(3.11)

3.3. Число ударов молекул о единицу поверхности стенки в единицу времени (плотность потока частиц).

Пусть концентрация молекул в интересующем нас объеме.

Тогда - концентрация молекул, имеющих скорости , а

- число молекул в рассматриваемом объеме со скоростями ;

Тогда число молекул, движущихся в положительном направлении оси :

(подстановка: ; ; .)

.

Т.о., плотность потока частиц на стенку:

,

или, учитывая, что , получаем

. (3.12)

3.4. Давление, оказываемое термодинамически равновесным газом на стенку.

;

интеграл

сосчитан в п. 3.2;

Тогда

.

3.5. Вероятность найти частицу со скоростью в интервале .

, где и .

Приведенные в таблице данные позволяют сделать практически полезный вывод о том, что при вычислениях, проводимых для интервалов, превышающих , можно интегрировать в пределах от до , сохраняя высокую точность вычислений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: