Вычисление площади поверхности
Понятие двойного интеграла можно использовать для определения площадей не только плоских фигур, но и кривых поверхностей.
Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией G; поверхность задана уравнением z=¦(x,y), где функция ¦(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии G на плоскость OXY через L.
Область на плоскости OXY, ограниченную линией L, обозначим через D.
Разобьем произвольным образом область D на n элементарных площадок Ds1, Ds2¼Dsn . В каждой площадке Dsi возьмем точку .
Точке будет соответствовать на поверхности точка
Через точку проведем касательную плоскость к поверхности. Уравнение ее имеет вид
(1)
На этой плоскости выделим такую площадку Dsi, которая проектируется на плоскость OXY в виде площадки Dsi. Рассмотрим сумму всех площадок :
Предел s этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок
Dsi стремится к нулю, называется площадью поверхности, т.е. по определению положим:
(2)
Вычислим площадь поверхности. Обозначим через gi угол между касательной плоскостью и плоскостью OXY. На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать:
или
Угол gi есть в то же время угол между осью OZ и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеет:
Следовательно,
Подставляя это выражение в формулу (2), получим:
Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, представляет собой, по определению, двойной интеграл то окончательно получаем:
Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности
z=¦(x,y).
Замечание.
Если уравнение поверхности дано в виде x=m(y,z) или y=X(x,z), то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид
где D’ и D'' – область на плоскостях OYZ и OXZ, в которых проектируется данная поверхность.
Пример 1
Найти площадь части конической поверхности вырезаемой плоскостями x=0, y=0, x+y=1, x+y=2 и лежащей в I октанте.
т.е.
(Площадь области s равна разности площадей прямоугольных треугольников).
Пример 2
Вычислить площадь части параболоида
x²+y²=z, x²+y²=1
по формуле:
найдем то
=
где s - круг x²+y²£1 в плоскости XOY
Механическое приложение двойного интеграла
Масса плоской фигуры
Пусть в области s распределено некоторое вещество, так что на каждую единицу площади области s приходится определенное количество этого вещества.
Рассмотрим произвольную площадку Dsi области s. Пусть масса вещества, приходящаяся на данную площадку, есть Dm. Тогда называется средней поверхностной плотностью вещества в области s.
Пусть Ds уменьшается, стягиваясь к точке . Рассмотрим предел , если этот предел существует, то он зависит от положения точки , т.е. от ее координат и представляет некоторую функцию ¦(Pi) точки Р. Будем называть этот предел поверхностной плотностью вещества в точке Р.
таким образом, поверхностная плотность есть функция ¦(x,y) координат точек области
Обратно, пусть задана поверхностная плотность некоторого вещества как некоторая непрерывная функция ¦(Р)=¦ . Найдем общее количество вещества m содержащегося в области s.
Разобьем область s на n частей Ds1, Ds2¼Dsn и в каждой Dsi возьмем точку , тогда ¦ есть поверхностная плотность в точке .
Произведение ¦ Dsi - есть количество вещества (масса) содержащегося на площадке Dsi, а сумма S¦ Dsi - выражает общее количество вещества, распределенного в области s.
Но это есть интегральная сумма для функции ¦ в области s.
Пусть Dsi ®0, тогда предел этой интегральной суммы
Таким образом численно равен массе плоской материальной области s, если плотность распределения массы в этой области равна подынтегральной функции ¦(x,y).
Получили механический смысл двойного интеграла от непрерывной, неотрицательной функции.
Пример 3
Вычислить массу болванки, отлитой из чугуна, если она ограничена поверхностями:
z = x2+y2; z = 9
х = 2; х = -2; у =2; у = -2
Вычислим вначале объем болванки
Масса этой болванки будет равна
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|