Свойства двойного интеграла
Задача об объеме цилиндрического тела
Рассмотрим в пространстве тело, ограниченное
сверху – поверхностью S, заданной уравнением Z=¦(x,y), где ¦(x,y)-непрерывная функция;
сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими параллельно оси OZ; снизу – областью s (s-проекция поверхности S но XOY)
Найдем объем этого тела.
Разобьем область s на п частей:
Ds1,Ds2 …Dsп
рассмотрим цилиндрические столбики по этим основаниям, ограниченные сверху кусками поверхности S.
Объем ΔVi столбика с основанием и высотой hi=¦(xi,hi)Dsi будет равен
,
где для любой точки Рi (xi,hi) принадлежащей области Dsi строим цилиндр с основанием Dsi и высотой hi=¦(xi,hi).
Производя указанные вычисления для каждой области деления и складывая результаты, получим приближенное значение объема тела:
Точное значение объема цилиндрического тела равно пределу, к которому стремится найденное приближенное значение объема при неограниченном измельчении областей деления, т.е. при неограниченном увеличении п (числа областей деления)
Определение двойного интеграла
Пусть в области s плоскости COU задана функция ¦(x,y)
Разобьем область s произвольно на п частей: Ds1,Ds2 ,…Dsп
так, чтобы Ds1, Ds2 ,…Dsп не имели общих внутренних точек. В каждой
Dsi (внутри или на границе) выберем точку Рi (xi ,hi) и умножим значение функции ¦(x,y) в этой точке на площадь Dsi . Сложим все такие произведения, получим
(1)
которая называется интегральной суммой для функции ¦(x,y) в области s.
Обозначим l - шаг разбиения области s на части Ds1,Ds2 …Dsп. Если при l®0 (при ®0 шага разбиения области s) интегральные суммы (1) имеют
конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции ¦(x,y) по области s и обозначают
или ,
т.е.
где ¦(x,y) – интегральная функция,
s - область интегрирования,
x,y – переменные интегрирования,
ds(dx, dy ) – элемент площади
Число I называется пределом интегральных сумм при l®0, если для любого положительного числа e, существует положительное число d, такое, что для всякой интегральной суммы с шагом разбиения d, выполнимо неравенство:
этот предел не зависит от способа разбиения области s на части и от выбора точек на этих частях.
Условия существования двойного интеграла и его свойства
Очевидно, функция должна быть ограничена в замкнутой области s, так как в противном случае за счет выбора точки Рi интегральную сумму можно было бы сделать сколько угодно большой по абсолютной величине, а значит не существует конечного предела интегральных сумм при l®0.
Достаточные условия существования двойного интеграла
Теорема 1
Если функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, то двойной интеграл этой функции по области s существует.
Теорема 2
Если функция ¦(x,y) ограничена в замкнутой области s и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл по области s существует.
Свойства двойного интеграла
1. не зависит от обозначения переменных интегрирования
2. Постоянный множитель k можно выносить за знак двойного интеграла:
или
если k – произвольное число , и f(x,y) интегрируема в области s, то kf(x,y) также интегрируема.
3. Двойной интеграл суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) двойных интегралов:
или
если f1(x,y) и f2(x,y) в области s, то их сумма (разность) также интегрируема в области s.
Совокупность свойств 2 и 3 называется линейностью интеграла.
4. Если область s разбита на любое число областей Ds1,Ds2 …Dsт, не имеющих общих внутренних точек и в каждой из этих областей функция f(x,y) интегрируема, то
Это свойство называется аддитивностью интеграла
5. Если всюду в области s функция ¦(x,y) положительная, то и двойной интеграл этой функции по области s будет положительным
6. Если всюду в области s функции ¦1 (x,y) и ¦2 (x,y) интегрируемы и
¦1 (x,y) ¦2 (x,y), то:
Это свойство называется монотонностью интеграла.
7. Если ¦ (x,y) интегрируема в областиs, то функция |¦ (x,y)| также интегрируема и
Оценка интеграла по модулю.
8. Если ¦ (x,y) 1, то
Доказательство:
Так как в данном случае ¦(x,y,z)=1 в области s, то для любого разбиения
области s на части Ds1,Ds2 …Dsn получим:
9. Теорема о среднем
Если функция непрерывна в замкнутой области s, то в этой области существует точка P(x,h) такая, что
Доказательство:
Пусть m – наименьшее значение функции f(x,y) в замкнутой области s;
М – наибольшее значение функции f(x,y) в замкнутой области s;
тогда для любой точки (x,y) этой области, значения функции удовлетворяют неравенствам:
m£¦(x,y)£M
Проинтегрируем это неравенство и применим свойства 6, 2, 8:
То есть или
Функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, принимает все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями. Следовательно, существует в области s точка Р(x,h) такая, что
или, что то же
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|