Вычисление двойного интеграла

Теорема 1

Если функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, ограниченной линиями: x=a, x=b (a<b),

y=j(x), y=Y(x);

где j (x) и Y(x) непрерывны на [a,b], причем j(x)£Y(x), то имеет место равенство:

(1)

позволяющее вычисление двойного интеграла свести к последовательному вычислению определенного интеграла от определенного интеграла (или к вычислению повторного интеграла)

Доказательство:

Разобьем область s на n частей, путем проведения прямых параллельных OY и n кривых, заданных уравнениями

y=j₀(x), y=j₁(x)¼y=j_n(x),

где

Пусть область деления, для которой

Пусть m_ik – наименьшее, значения функции ¦(x,y) в области s,

а М_ik – наибольшее значения функции ¦(x,y) в области s.

Так как Ds_ik – замкнутая область, то эти значения принимаются в некоторой области Ds_ik причем

проинтегрируем по y это неравенство для каждого значение x:

(2)

Проинтегрируем (2) по x в пределах x_i-1 до x_i и учитывая, что

- площадь области Ds_ik

получаем:

(3)

(3) имеют место в каждой области деления

Просуммируем по k от 1 до n

,

так как

Суммируя по i: i=1, до n

или

(4)

- нижняя интегральная сумма функции f(x,y),

- верхняя интегральная сумма функции f(x,y).

а это означает из (4):

Теорема 2

Если функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, ограниченной линиями y=c, y=d (c<d);x=Ф(y), x=y(y),Ф(y) и y(y) – непрерывны на [c,d], причем, Ф(y)£y(y), то

(5)

При вычислении двойного интеграла по формуле (5) вначале вычисляется при y=const (c£y£d) в пределах изменения х (для области s), затем полученная функция от y интегрируется по y в максимальных пределах изменения у для области s.

Пример

Вычислить по области s: y=-x, y=1, y=x²

Для вычисления двойного интеграла нужно привести его к повторному интегралу

1. Привести к повторному интегралу , где область D

D: y=0, y=x, x=3.

1) спроектировать D на OX: 0£x£3 - пределы внешнего интеграла;

2) возьмем в этих пределах произвольную точку х;

3) прострелим область D стрелкой перпендикулярной 0Х, проходящую через выбранную точку х;

4) укажем место входа и выхода стрелки из области D (точка А и точка В);

5) из уравнений линий , на которых лежат А и В

y_А £ y £ y_В

получим пределы внутреннего интеграла:

0 £ y £ x

2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле ,где область D задана уравнениями

D: y=0, y=x², x+y=2

Разобъем область D на две области D₁ и D₂ :

D₁: 0£x<1, 0£y£x²

D₂: 1£x£2, 0£y£2-x

Примеры вычисления двойных интегралов

1.Найти по области s,

заданной уравнениями:

y=0,y=x², x=2

2. Вычислить двойной интеграл где S(0£x£1, 0£y£1)

Расставляя пределы интегрирования будем иметь

Геометрически:

объем цилиндра с квадратным нижним основанием, ограниченного сверху параболоидом вращения

3. Вычислить двойной интеграл

, где S (0£x£1;-2£y£3).

Расставляя пределы интегрирования и разделяя переменные, будем иметь:

4. Вычислить двойной интеграл по прямоугольнику S, ограниченному прямыми x=2, x=5, y=1, y=3.

Можно интегрировать и в обратном порядке:

5. Вычислить , по области D, ограниченной линиями:

3£x£4, 1£y£2

6. Вычислить , где область D ограничена линиями: x=0, x=1; y=0, y=3/2.

7. Вычислить гдеобласть D огранирчена линиями:

x=0, y=0, y=3/2

8.Вычислить , где область D: ограничена линиями:

9. Вычислить по области D

D:- треугольник, ограниченный прямыми

y=x,y=0,x=1

10. Вычислить , D: - треугольник, ограниченный осями координат и прямой y=-x+1. Тогда

или иначе

11. Вычислить по области S

S - треугольник с вершинами

О(0,0), А(2,0), В(2,1).

Тогда область S ограничена прямыми

y=0, y=x/2, x=2

Или область D рассматривать как область нормальную

13. Вычислить , по области D, ограниченый трегольником с вершинами

(-1,-1), (2,-4), (1,3).

Составим уравнения прямых:

Аналогично:

Чтобы найти среднее значение 2x+3y+1, надо значение двойного интеграла разделить на площадь треугольника, которая равняется 9.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Для среднего значения получим число равное 1/3

Геометрическая интерпретация двойного интеграла для вывода (1)

Рассмотрим функцию ¦(x,y) непрерывную и неотрицательную в области s, удовлетворяющую условиям теоремы 1.

Тогда задача вычисления двойного интеграла:

равносильна задаче нахождения объема V цилиндрического тела с основанием s, ограниченного сверху поверхностью Z=¦(x,y).

Если функция ¦(x,y) такова, что любые два сечения этого тела плоскостями перпендикулярными оси OX, проектируется на плоскость YOZ одно в другое, то объем V может быть найден по формуле:

,

где S(x) – площадь сечения тела плоскостью перпендикулярной OX в точке с абсциссой x, а£x£b.

Это сечение представляет собой криволинейную трапецию. Спроектировав ее на плоскость YOZ, получим криволинейную трапецию, ограниченную снизу отрезком [j(x),y(x)], оси OY, сверху – кривой Z=¦(x,y), где x=const.

Площадь этой трапеции, равная S(x), находится с помощью определенного интеграла

Подставим в формулу вычисления объема V вместо S(х) полученное выражение, имеем

Рассуждая аналогично, в результате пересечения тела плоскостями перпендикулярными оси OY, имеем

Замечание 1

Если функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s,.удовлетворяет одновременно условиям теоремы 1 и 2, то при вычислении можно выбирать любой порядок интегрирования (внешний интеграл брать по х, внутренний – по у, или наоборот).

Если область s - прямоугольник со сторонами x=a, x=b, y=c,y=d, а функция ¦(x,y) непрерывна в прямоугольнике {а£x£b, c£y£d}, то применяя (1) и (5)

Замечание 2

При вычислении двойного интеграла по области s более сложного вида применяется предварительное разбиение этой области на конечное число частей, удовлетворяющих условиям теоремы 1 или 2, двойной интеграл заменяется суммой интегралов по ее частям.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: