Вычисление объема цилиндрического тела.

Исходя из геометрической интерпретации двойного интеграла, площадь плоской фигуры численно равна объему прямого цилиндра с высотой, равной единице.

(4.5.)

ПРИМЕР 4.3. Вычислить двойным интегралом площадь фигуры D, ограниченной линиями:

и

РЕШЕНИЕ.

Строим линии и определяем область D.

Линия -парабола ветвями вверх с вершиной в точке (3,3).

Линия - прямая

Находим координаты точек пересечения

параболы и прямой, решив систему

Получили две точки (0,12) и (7,19).

Выбираем порядок интегрирования.

При «заметании» области D прямой , параллельной оси Оу, точка входа остаётся всё время на параболе , а точка выхода – на прямой. При «заметании» области D прямой , параллельной оси Ох, точка входа переходит с Рис.4.6. левой ветви параболы на прямую, а точка выхода остаётся всё время на правой ветви параболы.

Следовательно, разумно использовать интеграл вида (4.1.), иначе придется вычислять два повторных интеграла.

ПРИМЕР 4.4. Вычислить двойным интегралом D

площадь фигуры D, ограниченной линиями 0 3 5

Рис. 4.7.

РЕШЕНИЕ.

Строим линии, определяем фигуру. Видим, что она симметрична относительно оси

4.2.3.Координаты центра тяжести однородной плоской фигуры. Если пластина однородна, то есть имеет одинаковую толщину и плотность по всей площади, то координаты её центра тяжестиопределяетсяпо формулам:

= (4.6.)

ПРИМЕР 4.5. Вычислить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

РЕШЕНИЕ.

Строим линии. Определяем фигуру

(рис.4.8.)и точки пересечения линий.

Вычисляем составляющие формул (4.6.):

По формулам (4.6.) получаем: = , = .

Приложение.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.

Интегралы, содержащие X = a² + b²

Интегралы, содержащие sin x.

24.

25. 26.

27. 28. 29. 30.

31. .

Интегралы, содержащие cos x.

32. 33.

34. 35. 36. 37.

38. 39. 40. .

Интегралы, содержащие cos x и sin x.

41. 42.

43. 44

Интегралы, содержащие tg x , ctg x.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

Интегралы, содержащие, обратные тригонометрические функции.

51. 52.

53.

54 55.

56.

Интегралы, содержащие показательные функции.

57. 58. 59. 60.

61. 62.

Интегралы, содержащие логарифмические функции.

63. 64.

65.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Физматгиз, любое издание.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Физматгиз, Наука 1978.

4. Глаголев А.А., Солнцев Т.В. Курс высшей математики для студентов экономических специальностей вузов. - М.: Высшая школа, 1971.

5. Баврин Н.Н., Матросов В.А. Общий курс высшей математики. - М.: Наука,1986.

6.Зайцев И.А. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1991.

7. Щипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 1994.

8. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Любое издание.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1.- М.: Высшая школа, 1986.

10. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. М.: Высшее образование. ИНФРА - М, 1998.

11. Двайт Г.Б. Таблица интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1980.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Неопределенный интеграл …………………………………. 3

1.1. Определение и основные свойства неопределенного интеграла…...3

1.2. Непосредственное интегрирование………………………………….. 5

1.3. Интегрирование заменой переменной (метод подстановки)………..5

1.4. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала…...6

1.5. Интегрирование по частям…………………………………………….7

1.6.Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен……...8

1.6.1. Квадратный трёхчлен находится в знаменателе дробной функции...8

1.6.2. Квадратный трехчлен находится в знаменателе под квадратным корнем…………………………………………………………………………9

1.6.3. Интегралы вида …………………………………...10

1.6.4. Подынтегральная функция, содержащая квадратный трехчлен в знаменателе, является неправильной дробью………………………………10

1.6.5. Интегралы вида ……………… ………………11

1.7.Интегрирование рациональных дробей……………………………….12

1.8. Интегралы от иррациональных функций…………………………….17

1.8.1. Интегралы вида …………………………….17

1.8.2. Интегралы вида ………….17

1.8.3. Интегралы вида …………………………..18

1.8.4. Искусственные приемы……………………………………………....20

1.8.5.Тригонометритческие подстановки…………………………………..21

1.9.Интегрирование тригонометрических функций…………………….22

1.9.1. Универсальная тригонометрическая подстановка tg ……….22 1.9.2.Частные случаи………………………………………………………...23

11.Определенный интеграл……………………………………………...29

2.1.Понятие и основные свойства определенного интеграла………..29

2.2.Оценка определенного интеграла………………….……………….....32

2.3. Теоремы об определенном интеграле………………………………...32

2.4. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной……………………………………………………………………33

2.5.Интегрирование определенного интеграла по частям……………..34

2.6.Несобственные интегралы…………………………………………….35

2.6.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами…………35

2.6.2. Несобственные интегралы от разрывных функций……………….36

2.7. Приближенные методы вычисления определенного интеграла……..38

2.7.1. Приближенные методы интегрирования, основанные на геометрической интерпретации определенного интеграла. …………...…38

2.7.2. Приближенное решение интегралов разложением подынтегральной функции в бесконечный степенной ряд……………………………………41

111. Приложения определенного интеграла……………………………42

3.1. Геометрические приложения определенного интеграла……………42

3.1.1.Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольной системе координат……………………………………………………………………..42

3.1.2.Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах….44

3.1.3.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде………………………………………….45

3.1.4. Вычисление объёма тела вращения…………………………………46

3.1.5. Вычисление поверхности тела вращения…………………………..47

3.1.6. Вычисление длины дуги кривой……………………………………..47

3.2. Физические приложения определенного интеграла………………..48

РОСЖЕЛДОР

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: