Алгоритм разложения правильной дроби на простейшие.
1) Знаменатель дроби представить в виде произведения:
где корень многочлена. Если корни повторяются k раз, то записывают если корни комплексные то
2) Каждому множителю в знаменателе поставить в соответствие простейшую дробь:
множителю - простейшую дробь 1 типа ,
множителю сумму
множителю - дробь III типа
множителю - сумму
3) записать правильную исходную дробь суммой простейших дробей, найденных в п.2.
4) найти коэффициенты А,В,С,… методом неопределенных коэффициентоводним из способов.
Способ "сравнения коэффициентов"
· сложить простейшие дроби, приведя их к общему знаменателю;
· отбросить знаменатель, а в числителе привести подобные члены по степеням ;
· сравнивая коэффициенты при степенях полученного числителя и числителя исходной дроби, составить систему уравнений относительно неизвестных А, В, С,…,N;
· решить полученную систему любым способом.
Способ "подборачастных решений":
· расставить дополнительные множители для приведения дробей к общему знаменателю;
· составить тождество, в левой части которого – сумма произведений числителей простейших дробей на дополнительные множители, а в правой части – числитель исходной дроби;
· придавая переменной различные значения ( в первую очередь значения корней многочлена, разложенного на множители в 1-ом пункте алгоритма, а также тривиальные значения) составить систему относительно неизвестных коэффициентов А,В,С,…;
· решить полученную систему.
ПРИМЕР 1.11. Найти интеграл
Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Представляем её в виде суммы простейших дробей.
Находим коэффициенты А, В, С.
1. Способ "сравнения коэффициентов".
Решаем систему матричным методом Гаусса.
2. Способ "подбора частных решений".
При
При
При
Подставляем значения А, В, С и находим интеграл.
ПРИМЕР 1.12. Разложить дробь на простейшие.
РЕШЕНИЕ.
Дробь правильная рациональная, поэтому
=
Способом подбора частных решений находим коэффициенты .
При
При
При
При
Вычтя 2-е уравнение из 1-го, получаем:
Делим 1-е уравнение на 2, и из него получаем:
Подставляем коэффициенты и получаем искомое разложение исходной правильной дроби на простейшие.
=
Интегралы от иррациональных функций.
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции, то есть интегрируется. Рассмотрим некоторые интегрирующиеся функции.
1.8.1. Интегралы вида , (1.16.)
где означает, что над величинами производятся только рациональные операции;
- целые числа.
Применяя подстановку (1.17.)
где - наименьший общий знаменатель дробей ,
указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.
ПРИМЕР 1.13. Найти интеграл
РЕШЕНИЕ.
|общий знаменатель дробей и является 4,
следовательно, заменяем переменную =
=
=
1.8.2. Интегралы вида . (1.18.) Подстановкой (1.19.)
где - наименьший общий знаменатель дробей ,
указанный интеграл преобразуют в интеграл от рациональной функции.
ПРИМЕР 1.14. Найти интеграл
а)
РЕШЕНИЕ.
Общий знаменатель дробей и является 6, следовательно, замена переменной: .
=
б) .
РЕШЕНИЕ.
Делаем подстановку: .
1.8.3. Интегралы вида (1.20.) приводятся к интегралам от рациональных функций подстановками
Эйлера.
Я подстановка Эйлера.
Если то полагаем (1.21.)
Положим знак плюс и возведем в квадрат обе части равенства
откуда рациональная функция от
Тогда
ПРИМЕР 1.15. Найти интеграл .
РЕШЕНИЕ.
Принимаем: тогда ;
Я подстановка Эйлера.
Пусть и - действительные корни трехчлена
тогда применяется подстановка (1.22.)
Возводим в квадрат и выражаем квадратный трехчлен через его корни ;
рациональное выражение.
и также рационально зависят от
Данная подстановка применима как при так и при , но многочлен должен иметь два действительных корня.
ПРИМЕР 1.16. Найти интеграл
РЕШЕНИЕ.
Корни трехчлена = - 4; = 1 – действительные числа, поэтому
Полагаем .
Возведём в квадрат обе части и сократим на ( ).Получаем:
; = = . Тогда:
= +C =
= +C = .
Искусственные приемы.
ПРИМЕР 1.17. Найти интегралы а) б)
= в) | |=
Последнее слагаемое - есть исходный интеграл поэтому, перенеся его влево от знака равенства и разделив на 2, получаем:
Интегрирование иррациональных функций, содержащих квадратные трехчлены, рассмотрены в п.1.5.
1.8.5.Тригонометритческие подстановки.
Если подынтегральная функция содержит корни вида: то применяются тригонометрические подстановки.
Для интегралов вида -
подстановка (1.23.)
вида -
подстановка или (1.24.)
вида -
подстановка или (1.25.)
ПРИМЕР 1.18. Найти интегралы.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|