Сделай Сам Свою Работу на 5

Алгоритм разложения правильной дроби на простейшие.

1) Знаменатель дроби представить в виде произведения:

где корень многочлена. Если корни повторяются k раз, то записывают если корни комплексные то

2) Каждому множителю в знаменателе поставить в соответствие простейшую дробь:

множителю - простейшую дробь 1 типа ,

множителю сумму

множителю - дробь III типа

множителю - сумму

3) записать правильную исходную дробь суммой простейших дробей, найденных в п.2.

4) найти коэффициенты А,В,С,… методом неопределенных коэффициентоводним из способов.

 

Способ "сравнения коэффициентов"

· сложить простейшие дроби, приведя их к общему знаменателю;

· отбросить знаменатель, а в числителе привести подобные члены по степеням ;

· сравнивая коэффициенты при степенях полученного числителя и числителя исходной дроби, составить систему уравнений относительно неизвестных А, В, С,…,N;

· решить полученную систему любым способом.

Способ "подборачастных решений":

· расставить дополнительные множители для приведения дробей к общему знаменателю;

· составить тождество, в левой части которого – сумма произведений числителей простейших дробей на дополнительные множители, а в правой части – числитель исходной дроби;

· придавая переменной различные значения ( в первую очередь значения корней многочлена, разложенного на множители в 1-ом пункте алгоритма, а также тривиальные значения) составить систему относительно неизвестных коэффициентов А,В,С,…;

· решить полученную систему.

ПРИМЕР 1.11. Найти интеграл

Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Представляем её в виде суммы простейших дробей.

Находим коэффициенты А, В, С.

1. Способ "сравнения коэффициентов".

Решаем систему матричным методом Гаусса.

 

2. Способ "подбора частных решений".

При

При

При

Подставляем значения А, В, С и находим интеграл.

ПРИМЕР 1.12. Разложить дробь на простейшие.

РЕШЕНИЕ.

Дробь правильная рациональная, поэтому

=

Способом подбора частных решений находим коэффициенты .



При

При

При

При

Вычтя 2-е уравнение из 1-го, получаем:

Делим 1-е уравнение на 2, и из него получаем:

Подставляем коэффициенты и получаем искомое разложение исходной правильной дроби на простейшие.

=

Интегралы от иррациональных функций.

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции, то есть интегрируется. Рассмотрим некоторые интегрирующиеся функции.

 

1.8.1. Интегралы вида , (1.16.)

где означает, что над величинами производятся только рациональные операции;

- целые числа.

Применяя подстановку (1.17.)

где - наименьший общий знаменатель дробей ,

указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.

ПРИМЕР 1.13. Найти интеграл

РЕШЕНИЕ.

|общий знаменатель дробей и является 4,

следовательно, заменяем переменную =

=

=

1.8.2. Интегралы вида . (1.18.) Подстановкой (1.19.)

где - наименьший общий знаменатель дробей ,

указанный интеграл преобразуют в интеграл от рациональной функции.

ПРИМЕР 1.14. Найти интеграл

а)

РЕШЕНИЕ.

Общий знаменатель дробей и является 6, следовательно, замена переменной: .

=

б) .

РЕШЕНИЕ.

Делаем подстановку: .

 

1.8.3. Интегралы вида (1.20.) приводятся к интегралам от рациональных функций подстановками

Эйлера.

Я подстановка Эйлера.

Если то полагаем (1.21.)

Положим знак плюс и возведем в квадрат обе части равенства

откуда рациональная функция от

Тогда

ПРИМЕР 1.15. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ.

Принимаем: тогда ;

Я подстановка Эйлера.

Пусть и - действительные корни трехчлена

тогда применяется подстановка (1.22.)

Возводим в квадрат и выражаем квадратный трехчлен через его корни ;

рациональное выражение.

и также рационально зависят от

Данная подстановка применима как при так и при , но многочлен должен иметь два действительных корня.

ПРИМЕР 1.16. Найти интеграл

 

РЕШЕНИЕ.

Корни трехчлена = - 4; = 1 – действительные числа, поэтому

Полагаем .

Возведём в квадрат обе части и сократим на ( ).Получаем:

; = = . Тогда:

= +C =

= +C = .

 

Искусственные приемы.

ПРИМЕР 1.17. Найти интегралы а) б)

= в) | |=

Последнее слагаемое - есть исходный интеграл поэтому, перенеся его влево от знака равенства и разделив на 2, получаем:

Интегрирование иррациональных функций, содержащих квадратные трехчлены, рассмотрены в п.1.5.

 

1.8.5.Тригонометритческие подстановки.

Если подынтегральная функция содержит корни вида: то применяются тригонометрические подстановки.

Для интегралов вида -

подстановка (1.23.)

вида -

подстановка или (1.24.)

вида -

подстановка или (1.25.)

 

ПРИМЕР 1.18. Найти интегралы.



©2015- 2018 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.