Алгоритм разложения правильной дроби на простейшие.

123 4 5

1) Знаменатель дроби представить в виде произведения:

где корень многочлена. Если корни повторяются k раз, то записывают если корни комплексные то

2) Каждому множителю в знаменателе поставить в соответствие простейшую дробь:

множителю - простейшую дробь 1 типа ,

множителю сумму

множителю - дробь III типа

множителю - сумму

3) записать правильную исходную дробь суммой простейших дробей, найденных в п.2.

4) найти коэффициенты А,В,С,… методом неопределенных коэффициентоводним из способов.

Способ "сравнения коэффициентов"

· сложить простейшие дроби, приведя их к общему знаменателю;

· отбросить знаменатель, а в числителе привести подобные члены по степеням ;

· сравнивая коэффициенты при степенях полученного числителя и числителя исходной дроби, составить систему уравнений относительно неизвестных А, В, С,…,N;

· решить полученную систему любым способом.

Способ "подборачастных решений":

· расставить дополнительные множители для приведения дробей к общему знаменателю;

· составить тождество, в левой части которого – сумма произведений числителей простейших дробей на дополнительные множители, а в правой части – числитель исходной дроби;

· придавая переменной различные значения ( в первую очередь значения корней многочлена, разложенного на множители в 1-ом пункте алгоритма, а также тривиальные значения) составить систему относительно неизвестных коэффициентов А,В,С,…;

· решить полученную систему.

ПРИМЕР 1.11. Найти интеграл

Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Представляем её в виде суммы простейших дробей.

Находим коэффициенты А, В, С.

1. Способ "сравнения коэффициентов".

Решаем систему матричным методом Гаусса.

2. Способ "подбора частных решений".

При

Подставляем значения А, В, С и находим интеграл.

ПРИМЕР 1.12. Разложить дробь на простейшие.

РЕШЕНИЕ.

Дробь правильная рациональная, поэтому

Способом подбора частных решений находим коэффициенты .

При

Вычтя 2-е уравнение из 1-го, получаем:

Делим 1-е уравнение на 2, и из него получаем:

Подставляем коэффициенты и получаем искомое разложение исходной правильной дроби на простейшие.

Интегралы от иррациональных функций.

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции, то есть интегрируется. Рассмотрим некоторые интегрирующиеся функции.

1.8.1. Интегралы вида , (1.16.)

где означает, что над величинами производятся только рациональные операции;

- целые числа.

Применяя подстановку (1.17.)

где - наименьший общий знаменатель дробей ,

указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.

ПРИМЕР 1.13. Найти интеграл

РЕШЕНИЕ.

|общий знаменатель дробей и является 4,

следовательно, заменяем переменную =

1.8.2. Интегралы вида . (1.18.) Подстановкой (1.19.)

где - наименьший общий знаменатель дробей ,

указанный интеграл преобразуют в интеграл от рациональной функции.

ПРИМЕР 1.14. Найти интеграл

а)

РЕШЕНИЕ.

Общий знаменатель дробей и является 6, следовательно, замена переменной: .

б) .

РЕШЕНИЕ.

Делаем подстановку: .

1.8.3. Интегралы вида (1.20.) приводятся к интегралам от рациональных функций подстановками

Эйлера.

Я подстановка Эйлера.

Если то полагаем (1.21.)

Положим знак плюс и возведем в квадрат обе части равенства

откуда рациональная функция от

Тогда

ПРИМЕР 1.15. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ.

Принимаем: тогда ;

Я подстановка Эйлера.

Пусть и - действительные корни трехчлена

тогда применяется подстановка (1.22.)

Возводим в квадрат и выражаем квадратный трехчлен через его корни ;

рациональное выражение.

и также рационально зависят от

Данная подстановка применима как при так и при , но многочлен должен иметь два действительных корня.

ПРИМЕР 1.16. Найти интеграл

РЕШЕНИЕ.

Корни трехчлена = - 4; = 1 – действительные числа, поэтому

Полагаем .

Возведём в квадрат обе части и сократим на ( ).Получаем:

; = = . Тогда:

= +C =

= +C = .

Искусственные приемы.

ПРИМЕР 1.17. Найти интегралы а) б)

= в) | |=

Последнее слагаемое - есть исходный интеграл поэтому, перенеся его влево от знака равенства и разделив на 2, получаем:

Интегрирование иррациональных функций, содержащих квадратные трехчлены, рассмотрены в п.1.5.

1.8.5.Тригонометритческие подстановки.

Если подынтегральная функция содержит корни вида: то применяются тригонометрические подстановки.

Для интегралов вида -

подстановка (1.23.)

вида -

подстановка или (1.24.)

вида -

подстановка или (1.25.)

ПРИМЕР 1.18. Найти интегралы.

123 4 5

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.