Теоремы об определенном интеграле.

1) Теорема осреднем.

Если непрерывна на [a,b], то на этом отрезке существует, по крайней мере, одна точка , такая, что . Геометрический смысл теоремы – площадь прямоугольника с высотой и основанием равна площади криволинейной трапеции, вычисляемой интегралом .

2)Теорема о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу доказывает, что, если непрерывна на [a,b], то имеет место равенство у

то есть производная

от определенного интеграла по верхнему

переменному пределу равна

подынтегральной функции от верхнего х

предела. 0

Интеграл с переменным верхним пределом Рис. 2.4.

Выражает площадь криволинейной трапеции с

подвижной правой боковой стороной (рис. 2.4.) Ф(х) .

Используя 1-е свойство неопределенного интеграла запишем

(

Данная теорема применяется для доказательства теоремы Ньютона - Лейбница.

3) Теорема Ньютона - Лейбница.

Если F( ) - первообразная от непрерывной функции ,то

(2.3.)

Формула Ньютона - Лейбница используется для вычисления определенных интегралов.

ПРИМЕР 2.2. Вычислить определенные интегралы. .

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной.

Заметим, что значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, а зависит только от подынтегральной функции и пределов интегрирования. Поэтому при замене переменной нет необходимости после нахождения первообразной возвращаться к исходной переменной, но при замене переменной пределы интегрирования необходимо заменять новыми, соответствующими новой переменной.

ПРИМЕР 2.3. Вычислить интегралы методом замены переменной.

Можно пределы подставить и так:

Интегрирование определенного интеграла по частям.

При интегрировании определенного интеграла по частям применяется формула:

, где u = u (x),v = v(x).

ПРИМЕР 2.4. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

=

=

=

Несобственные интегралы.

Если подынтегральная функция f(x) рвется на [a,b] или пределы интегрирования являются бесконечными то интеграл называется несобственным.

Геометрический смысл сходящегося 0а

интегралас бесконечными пределами – Рис.2.5.

площадь неограниченной криволинейной

трапеции (рис.2.5.), заключенной между кривой ), прямой и асимптотой

Таким образом,

Аналогично

.

ПРИМЕР 2.5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Возможна и другая форма записи:

интеграл расходится.

2.6.2.Несобственные интегралы от разрывных функций.

Если функция терпит разрыв 1-го рода,

то в точке разрыва имеется конечный скачек

(рис.2.6.). Поэтому применяется запись:

То есть интеграл от разрывной функции 0

равен сумме интегралов согласно 5-му Рис.2.6.

свойству определенного интеграла.

Если функция терпит разрыв 2-го рода, то в точке разрыва скачек бесконечный и применяются записи, зависящие от места разрыва функции (на краях отрезка или внутри него).

Для левостороннего разрыва (слева от

асимптоты, рис.2.7.) :

.

Для правостороннего разрыва (справа от 0

асимптоты, рис.2.8.): Рис.2.7.

 

0

Рис.2.8.

 

Для двустороннего разрыва (с обеих

сторон от асимптоты, рис.2.9.):

0 а с b x

В последнем случае интеграл сходится,

если оба предела существуют.

ПРИМЕР 2.6. Вычислить несобственный Рис.2.9.

интеграл от разрывной функции или установить его расходимость.

При знаменатель подынтегральной функции обращается в 0, терпит правосторонний разрыв 2-го рода, поэтому:

Функция терпит разрыв 2-го рода в точках и Вторая точка выходит за пределы интервала интегрирования. Таким образом:

Исследуем на сходимость каждый интеграл.

Интеграл расходится, следовательно, исходный интеграл также расходится.

Заметим, что если точек разрыва не заметить, к интегрированию подойти формально, то получаем:

,

что не верно.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл

, называемый интегралом Эйлера – Пуассона.

Доказано, что = . Площадь фигуры под бесконечной кривой Гаусса . . (Рис.2.10.) Рис.2.10.

 

12345

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.