Экстремумы функций двух переменных.

С помощью частных производных можно отыскать точки экстремумов функции и определить их характер. Так необходимым признаком того, что точка является точкой минимума (максимума) то есть точкой экстремума дифференцируемой функции, является выполнение в этой точке условий:

.

Точки, в которых эти условия выполняются, по – прежнему будем называть критическими.

Достаточным признаком того, что критическая точка действительно экстремальна, является выполнение в этой точке неравенства

При этом, если

, то - точка максимума, а если , то - точка минимума.

Если , то критическая точка не экстремальна (она называется в этом случае седловой точкой). Если же , то вопрос о характера критической точки открыт (требуются дополнительные исследования).

Пример: Найти экстремуму функции

.

Решение , отсюда М₀ (-2,3) - критическая точка

; ; М₀ (-2,3) - точка минимума.

Векторная функция скалярного аргумента

Назвем вектор - функцией скалярного аргумента правило по которому каждому значению числовой (скалярной) переменной t ставится в соответствие единственный и четко определенный радиус вектор (см. рис.), записывая

Ясно, что для того, чтобы задать вектор , достаточно задать три «скалярные» функции - координаты: , то есть

= ( ).

Естественно вектор называют приращением вектор - функции . Вектор

Называют производнойвектор – функции скалярного аргумента.

Из свойств пределов и операций с координатами вектора следует, что

= ( ).

Геометрически, и это следует из определения вектор направлен по касательной к годографу, почему каноническое уравнение касательной прямой к годографу («пространственной» кривой) с произвольной точкой касания можно записать в виде.

.

Рассмотрим «плоскую» вектор - функцию = ( ).

Тогда уравнения

которое определяют своеобразную зависимость «у от х» через «общий» аргумент t называют параметрическими уравнениями плоской кривой или уравнениями функции «у от х» «заданной параметрически». Естественно, и в этом случае можно говорить о производной «от у по х», то есть о . Можно показать, что она также является функцией заданной параметрически и определяется уравнениями

. (*)

Последнее уравнение здесь (в правой части - выражение «от t») и определяет параметрическую зависимость «у' от х». Эти же последние уравнения определяют и «методику» нахождения «старших» производных (второй, третьей и т.д.) от функции заданной параметрически. Нужно рассматривать каждую «предыдущую» производную, как «новую», параметрически заданную функцию, и записывать для нее соответствующие уравнения (*) как для «первой» производной.

Пример:

; ; ; ; .....

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

1. Решить систему тремя способами: а) с помощью обратной матрицы, б) по правило Крамера, в) с помощью процедуры Гаусса.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27)

3. Для пирамиды А,В,С,D, координаты вершин которой заданы в таблице 2, найти: координаты и длины векторов ребер , , угол ВАС, площадь гран (ВАС) и объём пирамиды; уравнения ребра (АD), грани (ВАС), а также высоту и длину высоты (DН).

Таблица 2

4. Построить кривые приведя их уравнения к каноническому виду

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 2

1. Найти указанные пределы (в п.2 можно использовать эквивалентность бесконечно малых переменных величин).

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25)

2. Найти у' (х) для функций заданных (а) - явно и (в) - неявно, используя во втором случае частные производные от соответствующей функции двух переменных.

1) а) ; b) .

2) a) ; b) .

3) a) ; b) .

4) a) ; b) .

5) a) ; b) .

6) a) ; b) .

7) a) ; b) .

8) a) ; b) .

9) a) ; b) .

10) a) ; b) .

11) a) ; b) .

12) a) ; b) .

13) a) ; b) .

14) a) ; b) .

15) a) ; b) .

16) a) ; b) .

17) a) ; b) .

18) a) ; b) .

19) a) ; b) .

20) a) b) .

21) a) ; b) .

22) a) ; b) .

23) a) ; b) .

24) a) ; b) .

25) a) ; b) .

4. Для функции найти

а) полный дифференциал,

б) градиент в точке М₀ (х₀,у₀):

4.1. , М₀ (1;1)

4.2. , М₀ (1;2)

4.3 , М₀ (2;1)

4.4. , М₀ (4;1)

4.5. , М₀ (0;3)

4.6. , М₀ (2;0)

4.7. , М₀ (1;4)

4.8. , М₀ (0;4)

4.9. , М₀ (3;2)

4.10. , М₀ (2;3)

4.11. , М₀ (5;0)

4.12. , М₀ (1;5)

4.13. , М₀ (4;2)

4.14. , М₀ (2;4)

4.15. , М₀ (4;4)

4.16. , М₀ (5;3)

4.17. , М₀ (3;3)

4.18. , М₀ (3;-1)

4.19. , М₀ (-1;1)

4.20. , М₀ (-2;1)

4.21. , М₀ (2;2)

4.22. , М₀ (0;5)

4.23. , М₀ (1;0,5)

4.24. , М₀ (-1;2)

4.25. , М₀ (-2;-1)

Номер варианта определяется следующей таблицей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Т. 1,2.-М.: Высшая математика. 1978.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: