Производные функции многих переменных.

Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая

Зафиксировав одну из переменных (х, у), например у, и «придав» приращение ∆х первой - х -, вычислим величину

обозвав ее «частным приращением по х,». Тогда

Частной производной от функции

по х будем называть предел отношения частного приращения

к приращению

аргумента х при стремлении

к нулю.

Обозначают такие частные производные одним из символов

или .

Итак, по определению

Аналогично определяется частное приращение по у данной функции и её частная производная по у.

Из определения частных производных следует, что их «нахождение» сводится к «обычному» дифференцированию данной функции, как функции одной «выделенной» переменной при условии, что все остальные переменные «временно» считаются константами, «со всеми вытекающими из этого последствиями».

Примеры:

1. ;

2. .

Попутно упомянем здесь о таком важном понятии, как градиент.

Градиентом функции двух переменных (или скалярного поля) называют лежащей на плоскости О_ху вектор

Началом этого вектора, естественно, считается точка в которой вычисляются соответствующие частные производные, например:

К важнейшим относится следующие свойство градиента:

Градисит перпендикулярен соответствующей линии уровня и указывает направление («путь»), в котором функция возрастает «наискорейшим» образом. Модуль градиента при этом равен скорости возрастания функции в направлении градиента или, что тоже самое, крутизну графика функции в этом направлении.

Пример: для функции найти линию уровня, проходящую через точку М₀ (1,3) и крутизну графика функции в этой точке.

Решение:

- линия уровня - окружность радиуса ;

;

- крутизна графика функции - поверхности так называемого параболоида в точке М₀.

Дифференцирование неявных функций

С помощью частных производных вычисляются производные так называемых неявных функций.

Говорят, что переменная у является неявной (неявно заданной) функция от переменной х, если эта зависимость определяется уравнение вида , то есть уравнением не разрешенным относительно у. Точно также можно говорить, что уравнение вида определяет неявно заданную функцию «z от х и у», то есть неявную функцию двух переменных. Можно показать, что в первом случае - для неявной функции «у от х» - производная «от у по х» находится по формуле.

Частные производные от неявной функций двух переменных - - могут быть найдены по формулам

Дифференциал функции двух переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полный дифференциал функции z=f(x¸y) двух переменных мы определим как выражение вида:

Пример: z=x·y³;dz=y³·∆x+3xy²·∆y.

Его компоненты - слагаемые обзываются соответствующими частными дифференциалами («по х» и «по у»). Как и дифференциал функции одной переменно величина dz является главной линейной частью так называемого полного приращения и связан с ним соотношением

где , а γ - некая бесконечно малая. Используя геометрический смысл частных производных, показывается, что для поверхности - графика функции z=f(x¸y) уравнение касательной плоскости в произвольной ее точке М₀(х₀, у₀, f(x₀¸y₀)) можно записать в виде

Уравнение соответствующей нормали - прямой, перпендикулярной к касательной плоскости в точке касания можно записать так:

На рисунке условно изображены касательная плоскость и нормаль к графику некоторой функции в т. М₀. Сравнивая уравнение касательной плоскости и соответствующий дифференциал функции, замечаем, что дифференциал (являясь главной частью полного приращения) выражает полное приращение аппликаты касательной плоскости к графику этой функции в данной точке.

Старшие производные

Так же как и для функции одной переменной, определяются вторые, третьи, ... .. «энные» частные производные. Правда, наличие двух и более переменных делает «букет» из них более богатым. Так, в частности, по определению и обозначению

- вторые «смешанные» производные.