Экономико-математические модели

Экономико-математической моделью (ЭММ) называется выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями) величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл. По своей роли в ЭММ эти факторы целесообразно подразделить на параметры и характеристики (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Классификация факторов по их роли в ЭММ

При этом параметрами объекта называются факторы, характеризующие свойства объекта или составляющих его элементов. В процессе исследования объекта ряд параметров может изменяться, поэтому они называются переменными, которые в свою очередь подразделяются на переменные стояния и переменные управления. Как правило, переменные состояния объекта являются функцией переменных управления и воздействий внешней среды. Характеристиками (выходными характеристи­ками) называются интересующие исследователя непосредственные конечные результаты функционирования объекта (естественно, что выходные характеристики являются переменными состояния). Соответ­ственно характеристики внешней среды описывают свойства внешней среды, которые сказываются на процессе и результате функционирова­ния объекта. Значения ряда факторов, определяющие начальное состояние объекта или внешней среды, называются начальными усло­виями.

Существенным признаком описательныхмоделей является отсутствие в них критерия оптимальности. Решение, даваемое ЭММ прямого счета, обеспечивает либо вычисление набора выходных характеристик объекта для одного или нескольких вариантов начальных условий и входных характеристик объекта, либо нахождение какой-либо совокупности значений в структурно допустимой области решений. Примеры типовых задач управления машиностроительным производством, реша­емых с помощью описательных моделей, приведены в табл 1.1.

Таблица 1.1. Примеры описательных моделей

Различают аналитические и алгоритмические модели.

Аналитической формой записи называется запись математической модели в виде алгебраических уравнений или неравенств, не имеющих разветвлений вычислительного процесса при определении значений любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи. Если в математических моделях единственная целевая функция f и ограничения g_i: заданы аналитически, то подобные модели относятся к классу моделей математического программирования. Характер функциональных зависимостей, выраженных в функциях f и g_i может быть линейным и нелинейным. Соответственно этому ЭММ делятся на линейные и нелинейные, а среди последних в специальные классы выде­ляются дробно-линейные, кусочно-линейные, квадратичные и выпуклые модели.

Если мы имеем дело со сложной системой, то зачастую гораздо легче построить ее модель в виде алгоритма, показывающего отношения между элементами системы в процессе ее функционирования, задава­емые обычно в виде логических условий – разветвлений хода течения процесса. Математическое описание для элементов может быть очень простым, однако взаимодействие большого количества простых по математическому описанию элементов и делает эту систему сложной. Алгоритмически же можно описывать даже такие объекты, которые в силу их сложности или громоздкости в принципе не допускают аналити­ческого описания. В связи с этим к алгоритмическиммоделям относятся такие, в которых критерии и (или) ограничения описываются математи­ческими конструкциями, включающими логические условия, приводя­щие к разветвлению вычислительного процесса. К алгоритмическим моделям относятся и так называемые имитационные модели – модели­рующие алгоритмы, имитирующие поведение элементов изучаемого объекта и взаимодействие между ними в процессе функционирования.

В зависимости от того, содержит ли ЭММ случайные факторы, она может быть отнесена к классу стохастических или детерминированных. В детерминированных моделях ни целевая функция f, ни уравнения связи g_i не содержат случайных факторов. Следовательно, для данного множества входных значений модели на выходе может быть получен только один-единственный результат. Для стохастических ЭММ харак­терно наличие среди факторов a_h модели, таких, которые имеют вероятностную природу и характеризуются какими-либо законами распределения, причем среди функций f и g_i могут быть и случайные функции. Значения выходных характерис­тик в таких моделях могут быть предсказаны только в вероятностном смысле. Реализация стохастических ЭММ в большинстве случаев осуще­ствляется на ЭВМ методами имитационного статистического моделирования.

Следующим признаком, по которому можно различать ЭММ, является связь с фактором времени. Модели, в которых входные факторы, а следовательно, и результаты моделирования явно зависят от времени, называются динамическими, а модели, в которых зависимость от времени t либо отсутствует совсем, либо проявляется слабо или неявно, называются статическими. Интересны в этом отношении имитацион­ные модели: по механизму функционирования они являются динамическими (в модели идет имитация работы объекта в течение некоторого периода времени), а по результатам моделирования – статическими (например, ищется средняя производительность объекта за моделируемый период времени).

Статические модели представляют собой известную степень приближения к реальным объектам и системам, функционирующим во времени. Во многих случаях степень такого приближения, проявляющаяся в допущениях о неизменности или различного рода усреднениях факторов во времени (косвенно или приблизительно учитывающих фактор времени в определенных границах его изменения), является достаточной для практического применения статических моделей.

Управляемая система

Любой объект, относящийся к классу организационно-экономических, является управляемой системой. Управление системой общепринято разделять на планирование, регулирование, учет, контроль, анализ. На рис. 1.3. представлена крайне упрощенная схема системы управления с обрат­ной связью, включающей сам объект управления, управляющий орган и информационную часть.

Пусть на входе системы (например, предприятия) лицом, ответст­венным за принятие решения, установлены план – желаемый результат ее функционирования – и ресурсы, обеспечивающие его реализацию. Действительный результат функционирования системы (продукция) измеряется информационной частью и сравнивается с планом. На основе анализа рассогласований управляющий орган (подразделения управле­ния на предприятии) вырабатывает регулирующие воздействия на объект управления (цехи предприятия) с целью уменьшения рассогласований.

Рис. 1.3. Упрощенная схема системы управления с обратной связью

Независимо от характера и специфики исследуемого объекта его цели всегда относятся к двум категориям: развития и стабилизации. Цели развитиянаправлены на достижение новых, желательных в ка­ком-то смысле состояний или характеристик объекта и соответствуют фазе управления “планирование” (рис. 1.3). Цели стабилизациинаправлены на сохранение или поддержание в определенном состоянии характе­ристик объекта и соответствуют фазе управления “регулирование”. Если рассматривать в качестве объекта исследования цех, то регули­рующие воздействия подразделений управления выступают для него в качестве основных плановых показателей и ресурсов цеха, обеспечи­вающих реализацию плана предприятия (рис. 1.4.). Таким образом, цели развития объекта вытекают из целей системы верхнего уровня или по крайней мере являются им логически непротиворечивыми. Поэтому корректная постановка задач “на развитие” системы обязательно предусматривает рассмотрение целей системы верхнего уровня и ее возможностей, формализующих их критериев оценки и формирование на этой основе ограничений, накладываемых системой верхнего уровня на объект исследования. Однако такого рода анализ весьма трудоемок и не всегда осуществляется на практике, что зачастую приводит к недо­статочно обоснованным уровням ограничений.

Рис. 1.4. Иерархическое построение системы управления

Цели стабилизации в соответствии с вышесказанным способствуют достижению результатов целей развития (утвержденного плана) и опре­деляются на уровне исследуемой системы. При постановке задач на “стабилизацию” оценивается оптимальность лишь одной из подсистем исследуемой системы – управляющей, при этом основные параметры объекта, определяющие его состояние, получены из решения задачи на развитие (или каким-нибудь иным способом) и зафиксированы.

Следует иметь в виду, что цели стабилизации для системы вовсе не эквивалентны целям развития для подсистем, как это может показаться из рассмотрения рис. 1.4. Цели развития для любого уровня определяют наилучшие в определенном смысле состояния систем данного уровня иерархии, т.е. “что” нужно достичь, в то время как цели стабилизации определяют наилучшие действия по их достижению, т.е. “каким образом” нужно достичь наилучшего состояния исходя из возможностей рассматриваемой системы. Поэтому для корректной формулировки целей развития необходима информация о целях и возможностях системы верхнего уровня, т.е. цели развития по уровням иерархии логически связаны, а для формулировки целей стабилизации достаточна информа­ция только о возможностях исследуемой системы – логическая связь целей стабилизации по уровням иерархии может отсутствовать.

Качественными (точечными) называются цели, которые могут быть или достигнуты, или не достигнуты. Все результаты, приводящие к достижению цели, одинаково хороши, а все результаты, не приводящие к достижению цели, одинаково неудовлетворительны. Критерии оценки достижения подобных целей принимают только два значения: 1 – успех, 0 в противоположном случае. Чаше всего в модели подобные цели выступают в качестве ограничений.

Количественное (интервальное) определение цели заключается в стремлении увеличить (или уменьшить) значение некоторой величины – критерия оптимальности, зависимость которой от переменных и факторов модели и составляет целевую функцию математической модели. Здесь следует сделать следующее терминологическое замечание. В литературе по экономико-математическому моделированию широкое распространение получили термины “критерий эффективности” и “критерий оптимальности”. С точки зрения методологии моделирования смешивать эти термины неправомерно. Как уже было отмечено выше, оптимальное решение – это решение математической модели, наилучшее по некоторому показателю – критерию оптимальности. Но математическая модель лишь отражение действительности, построенное на основе учета основных количественных факторов. Действительность богаче модели в первую очередь за счет присутствия качественных факторов, не формализуемых моделью. Эффективное решение предполагает обяза­тельный учет неформализуемых факторов, в связи с чем критерий эффективности математической модели в принципе не существует. Обычно эффективное решение явно или неявно заменяется оптимальным. Спецификой оптимальности является ее жесткая связь с критерием оптимальности, чего нет у эффективности. Критерий оптимальности при этом некоторая величина, имеющая экономический смысл. Наилучшее по критерию оптимальности решение вовсе не обязано совпадать с эффективным. Особенно ясно это видно при принятии решений в условиях многокритериальности – ведь критериев несколько, несколько оптимальных решений, а эффективное решение только одно. Эффективизация, базируясь и включая оптимизацию, в значительной мере носит эвристический характер из-за наличия неформализуемой информации. Таким образом, количественная цель формализуется критерием опти­мальности, а не критерием эффективности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: