Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:

(1.2)

Совокупность чисел , которые, будучи подставленными в систему (1.2) вместо неизвестных, обращают все уравнения СЛАУ в числовые тождества, называется решением системы.

Если система (1.2) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Совместная система может обладать либо единственным решением, либо бесчисленным множеством решений.

Пусть А - матрица коэффициентов системы, - вектор- столбец неизвестных, - вектор-столбец свободных членов. Тогда в матричном виде система запишется в виде

Если количество уравнений m равно количеству неизвестных n, система имеет квадратную матрицу А порядка n. Определитель называется определителем системы.

Правило Крамера

Теорема 1.6.Если определитель системы отличен от нуля (т. е. r(A) = n), то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

( j = 1, 2, ..., n ), (1.3)

где есть определитель, полученный из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.3) называются формулами Крамера.

Доказательство

Поскольку , матрица А коэффициентов системы невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1, причем А^-1 является единственной.

Умножим левую и правую части системы АX = B на А^-1

слева. Получим А^-1АX = А^-1-B, откуда EX= А^-1B и, окончательно,

X= А^-1B (1.4)

Решение (1.4) – единственное решение СЛАУ в силу единственности существования обратной матрицы.

Запишем равенство (1.4) в координатной форме:

Выражение b₁A_1j + b₂A_2j + ...+ b_nA_nj есть разложение определителя по элементам j-го столбца (теорема Лапласа).

Таким образом, (j = 1, 2, ..., n).

Задача 1.6. Решить СЛАУ

Решение

Найдем определитель системы

, следовательно, система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. Вычислим вспомогательные определители:

Тогда решение СЛАУ

; ;

Матричный метод

Для систем с невырожденной квадратной матрицей коэффициентов системы довольно часто используют матричный метод.

Итак, пусть система уравнений заданная своей матричной формой записи:

.

В соответствии с условием задачи матрица есть невырожденной, тогда у нее существует обратная матрица , причем такая матрица будет единственной.

;

;

;

.

Последнее соотношение задает матричную форму решения систем линейных алгебраических уравнений размерностей с невырожденной матрицей коэффициентов .

Задача 1.7. Найти решение СЛАУ матричным методом

Решение

Вычислим определитель матрицы коэффициентов системы

Поскольку , то исходная система имеет единственное решение.

На следующем этапе необходимо найти обратную матрицу к матрице коэффициентов системы A.

Для этого найдем соответствующие алгебраические дополнения.

; ; ;

; ; ;

; ; .

Присоединенная матрица будет иметь вид

.

Обратная матрица определяется таким образом:

.

Непосредственно решение исходной системы найдем из соотношения:

.

Итак, , .

Проверка:

СЛАУ решена верно.

Метод Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом гауссових исключений, состоит в том, что систему линейных алгебраических уравнений

относительно неизвестных , , …, сводят последовательными исключениями неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

(5

Процесс сведения исходной системы к эквивалентной форме называется прямым ходом метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса выполняется с помощью аппарата элементарных преобразований. Заметим, что в данном случае элементарные преобразования применяются только для строк исходной системы. С другой стороны, необходимо отметить, что, если в исходной системе матрица коэффициентов невырождена, то такую систему уравнений к треугольной форме сводят всегда.

Обратный ход метода Гаусса состоит непосредственно в определении корней системы уравнений, которые находят по рекуррентным соотношениями

; .

Для удобства вычислений элементарные преобразования исходной системы выполняют относительно ее матричной формы. Поэтому записывают расширенную матричную систему

.

Далее прямым ходом метода Гаусса сводят ее к виду:

.

На основании такой матрицы записывают эквивалентную систему уравнений и, используя рекуррентные соотношения, определяют корни исходной системы. Проиллюстрируем применения аппарата метода Гаусса для конкретного примера.

Задача 1.8. Методом Гаусса решить систему линейных алгебраических уравнений

Решение

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований над строками сведем ее к треугольной форме.

.

Таким образом, прямой ход метода Гаусса завершен. Для реализации обратного хода на основе последней матрицы запишем эквивалентную систему к заданной.

Реализуя обратный ход метода Гаусса, определяют непосредственно корни исходной системы. В самом деле, из последнего соотношения эквивалентной матрицы значит, что . После подстановки в предпоследнее уравнение имеем

;

В конце концов, из первого равенства имеем:

; .

Итак, исходная система имеет решение:

; ; .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: