Сделай Сам Свою Работу на 5

Определитель квадратной матрицы





КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

 

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

(академічна різниця)

 

 

Холод О.Г., канд. техн. наук, доцент,

Швачич Г.Г., канд. техн. наук, доцент

 


 

 

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Определение 1.1. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов.

Согласно определению, матрица размерности имеет вид:

.

Числа и называются порядками матрицы. Числа , образующие матрицу, называются ее элементами. Индексы и элемента указывают соответственно на номера строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Матрицу можно записать сокращенно в виде

,

где .

Определение 1.2. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

 

Равенство матриц

 

Сравнивать можно только матрицы одинаковой размерности.

Определение 1.3. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые порядки, а соответствующие элементы равны между собой. Таким образом, , если для всех значений .


Операции над матрицами

 

К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на скаляр (число), умножение матриц.



Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только матрицы одной размерности.

Определение 1.4. Суммой матриц и называется матрица того же порядка, элементы которой определяются равенством

.

Аналогично определяется разность двух матриц.

Заметим, что операция сложения (вычитания) матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения (вычитания) вещественных чисел.

Умножение матрицы на число

Определение 1.5. Произведением матрицы на вещественное число называется матрица той же размерности, что и матрица А, элементы которой равны

.

То есть, при умножении матрицы на число, на это число умножаются все элементы матрицы.

Умножение матриц

Определение 1.6. Произведением матрицы , имеющей порядки соответственно равные и , на матрицу , имеющую порядки соответственно равные и , называется матрица , имеющая порядки соответственно и , элементы которой определяются по формуле



(1.1)

Другими словами, матрицу можно умножить на матрицу тогда и только тогда, когда числостолбцов матрицы соответствует числу строк матрицы . Формула (1.1) дает правило вычисления элементов матрицы-произведения, называемое правилом "строка–столбец", которое может быть сформулировано следующим образом: элемент матрицы равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы .

Задача 1.1. Найти произведение матриц , если последнее существует:

,

По правилу "строка–столбец" получим

 

Транспонирование матрицы

 

Определение 1.7. Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы , называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается .

Например, если , то

Может оказаться, что квадратная матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е. . В этом случае матрица называется симметричной.

 

Квадратная матрица

 

Если в матрице порядки и равны, то она называется квадратной, а число называется ее порядком. Квадратная матрица имеет вид

 

.

 

Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол, побочной диагональю той же матрицы – диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение 1.8. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.



Определение 1.9. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной и обозначается . Например,

 

.

С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется ее определителем или детерминантом.

Определитель квадратной матрицы

 

Рассмотрим квадратную матрицу произвольного порядка. Определитель (детерминант) матрицы обозначается или .

Определение 1.10. Определителем, соответствующим квадратной матрице - го порядка, называется число, полученное из элементов этой матрицы по следующим правилам:

– определитель - го порядка равен алгебраической сумме элементов матрицы;

– каждое слагаемое представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Сомножители располагаются таким образом, чтобы первым был элемент из первой строки, вторым - элемент из второй строки и т.д.;

– слагаемое берется со знаком плюс, если число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей четное, и со знаком минус – в противном случае.

Итак, по определению имеем:

 

В последней формуле суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел .

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть . В общем виде определитель второго порядка записывается следующим образом:

.

Членом такого определения будет произведение вида:

где – любая перестановка из чисел 1, 2. Возможных перестановок две: . В первом случае имеем инверсий , а во втором – одну . Следовательно, в первом случае четное число инверсий, а во втором – нечетное.

Следовательно,

.

Таким образом, определитель второго порядка, соответствующий квадратной матрице второго порядка, равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пусть . Определитель третьего порядка имеет вид

 

.

Членами определителя третьего порядка являются произведения вида: где – перестановки из чисел . Таких возможных перестановок шесть:

 

 

Отметим, что первая группа перестановок имеет четное число инверсий, вторая – нечетное, поэтому:

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.