Сделай Сам Свою Работу на 5

Интеграл по комплексному переменному, его основные св-ва.





Пусть в компл-ой пл-ти задано параметрически гладкая кривая , где

, - непрерывна. На этой кривой определена непрерывная ф-ия

, - произвольным образом выбранная точка на участке. . Разбиению кривой АВ на участки, соответствует разбиение отрезка от до точками . Если рассмотреть предел , рассмотрим предел . Если этот предел , конечен и не зависит от способа разбиения кривой АВ на участки и выбора т-ки , то он наз интегралом от ф-ии комплексного переменного по кривой АВ= . . Само определение интеграла позволяло определить интеграл вида: (*), , (проверить).

Мы получили конструкцию, напоминающую криволинейного интеграла для ф-ии дейст-го переменного. В предыдущих предложениях м.б получены след. вычислит. формула: , т.е мы получили формулу: . По аналогии с интегралом ф-ии действ-го переменного рассмотрим св-ва: 1).Линейность . 2) Аддетивность интеграла относительно области интегрирования

. 3) При смене направления интегрирования интеграл меняет знак . 4) Оценка модуля . Пример,

, .

14. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области.

Опр. Односвязной областью наз. область ограниченная одним связным контуром, иначе область наз. n-связной по числу ограниченных ее связных контуров.



Т: Пусть G – односвязная область, f(z) – однозначная аналитическая ф-я, определенная на этой области и L – любая замкнутая кривая спрямляемая лежащая в G. Тогда . Д-во: в дополнительном предположении, что ф-я f '(z)- непрерывна. По условию f(z) – аналитическая выполняется условие Коши – Римана: ; , т.к. f '(z)- непрерывна, то непрерывность частных производных. (*) Применим ф-лу Грина:

к каждому интегралу записи(*) . . Поэтому исходный интеграл .

Оказывается, что инт. теорема Коши имеет место и длч многосвязных обл.

; ; . Получили что интеграл по границе обл. Д: .

В случае n-связной области Т.Коши так же имеет место.

Формула имеет вид: . Однако для удобства важное значение имеет интегральная

Т.Коши.: Причем, контуры могут обходиться водном и том же направлении, н-р по часовой стрелки. Интеграл и первообразная. Из инт.Т.Коши , что интеграл от аналит.ф-ии в односвязной обл.не зависит от пути интегрирования. Поэтому можно записать, что , где F(z)-первообразная для ф-ии f(z). F’(z)=f(z). В связи с этим для функции комплексного переменного имеет место формула Ньютона – Лейбница для данной ф-ии: .



15. Интегральная формула Коши.

Т:Пусть ф-я f(z) – однозначная и аналитическая на обл.G; L- замкнутая спрямляемая, принадлежащая обл.G вместе со своей внутренней обл.Д, тогда для любой точки справедлива формула: .

При этом интеграл Коши имеет вид: .

Замечание: интеграл Коши позволяет вычислять значение ф-ии, в некот. внутренней точки обл-ти, если известно значение ф-ии на границе этой обл-ти. Интеграл Коши (формула Коши) имеет место и для точек, лежащих вне этой области и =0. интеграл теряет смысл, для точек, кот.принадлежат границе.

 

 

16,19Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в
степенной ряд.

Справедлива след. теорема: однозначная аналитическая в области G ф-ия f(z) разлагается в степенной ряд в окр-ти каждой точки области G. (рис.1)

Р! z0 принад. G. Начертим окр-ть γρ в центре в т.z0 и радиусом ρ. Все точки на границе окр-ти будем обозначать ξ. Р! т.z внутри этой окр-ти, тогда для этой точки будет справедлива интегральная формула Коши:

Модуль дроби в знаменателе <1, т.к.

Тогда по формуле бесконечно убывающей геом. прогрессии все равно:

Подставляя полученное выр-ие в интегральную формулу Коши, получим:

Почленно интегрируя данное рав-во, получим:

, где .

Т.к. полученное разложение аналитической ф-ии f(z) в степенной ряд един-о, то полученный степенной ряд будет яв-ся рядом Тейлора, коэф-ты которого выч-ся по формуле: . Замечание: сравнивая последнее выр-ие с последней формулой можно записать формулы Коши для зн-ий n- ой производной:



.

Р! случай, когда в некоторой отдельной изолированной точке ус-ие аналитичности нарушается. В этом случае поведение ф-и можно описать рядом Лорана:

Ряд (2) яв-ся степенным, значит область сходимости ряда – круг с радиусом R, т.е . Ряд (1) можно преобр-ь в степенной путем замены переменной: . Тогда . Исходный ряд будет сходиться в кольце . Рис.2. Введенная нами замена переменной не нарушает аналитичности ф-ии. Ф-ия f(z) будет бесконечно диф-ой, поэтому ряд Лорана представляет собой аналит. ф-ию в кольце. Ясно, что сходимость ряда Лорана внутри кольца будет равномерной, поэтому ряд Лорана можно почленно интегрировать по окр-ти γρ, расположенной внутри кольца: рис.3. .

Проинтегрируем рав-во по окр-ти γρ:

Интеграл, стоящий в правой части равен 0 во всех случаях, кроме n=k. В этом случае он равен 2πi. Тогда весь интеграл равен 2πian. След-но, получается выр-ие для

Формула по виду напоминает соот-ую формулу для ряда Тейлора. Формула показывает, что коэф-ты ряда Лорана выч-ся однозначно, поэтому разложение ф-ии в ряд Лорана един-но. Теорема: ф-ия f(z) однозначная и анал. в круговом кольце представима в нем рядом Лорана.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.