Сделай Сам Свою Работу на 5

Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая проекция; её основные свойства.

Поле С комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Окрестности.

Системы комплексных чисел – это объект изучения алгебры, в котором они возникают как упорядоченные пары действительных чисел.

В курсе математического анализа комплексные числа удобнее рассматривать в виде где х- дейтв. Часть, у – мнимая часть.i- мнимая единица. х = Rez, y=Imz. Над компл. Числами можно выполнять арифм опреации: +, -, *, /, , , соотв формулы получ с учетом ,

Геометрическая интерпритация компл числа возникает в результате соотв-ия мн-ва С чисел и мн-ва т-к пл-ти, т.е. каждому компл числу ставится в соотв-ие т-ка пл-ти корд-ты которой, представляют собой действ и мнимую часть числа С. ; - аргумент.

поэтому с компл числом связано 2 его хар-ки: 1. модуль компл числа это длина вектора, исходящего из начала корд, с концом в т-ке z. Аргумент C числа Z это величина угла между действ осью ОХ и соотв радиусом вектора. . В данном случае, плоскость в кот отмечалось компл число наз-ся компл пл-тью или z – пл-тью. Ось OX- действ ось, ОУ- мнимая ось. Мн-во компл чисел с введением на нем операц +,*, образуют поле, это поле наз-ся компл и обозн-ся С. Т.о нами установлено соотв-ие м-ду полем компл чисел и пл-тью. Аргумент компл числа опр-ся неодн-но, с точностью до слаг-го где k-целое число.Argz- аргумент. Аргумент можно вычислить с учетом ограничений при этом, получается главное значение аргумента компл числа, которое обоз-ся . Получим формулу для вычисления главного значения аргумента с учетом того что .

Особые случаи:1. z=x, при x>0 argz=0 при x<0 argz=

2. z=0 аргумент не опр-ся

3. z=iy при у>0 argz= при у<0 argz=-

k-целое число. Из геометр соображ ясно что

- тригонометрическая форма записи С числа. Используя формулы Эйлера получим показательную формулу записи компл числа - показательная формула записи. Для дальнейшего рассмотрения важно понятие окрестности С числа. окрестностью т-ки наз-ся мн-во т-к компл пл-ти котрое удовл-ет

 

Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая проекция; её основные свойства.



Для дальнейшего построения теории удобно расширить описанную выше конечную z-плоскость, присоединив к ней одно несобственное число ∞. Наглядная модель расширения возникает с помощью стереографической проекции (см. рис.).

Точки сферы единичного радиуса проектируют из “северного полюса” на “экваторную ” плоскость. Возникает вз.-однозн. соотв. м/у точками сферы и пл., при кот. верхней полусфере соответствует внешность единичного круга на пл., а его внутренность соответствует нижней полусфере; “южному полюсу” S соотв. Центр окр. О, а “северному” N ~ ∞. Единственность т. ∞, создающей расширенную компл. пл., наглядно иллюстрируется тем, что любому варианту неограниченного удаления от т. О по пл. соответствует приближение к N по сфере.

Естественно поэтому, что окрестность т. ∞ определяется как внешность любого круга.

Напр.: окрест-ю ∞ будет мн-во компл. ч. z, для кот-х |z|>R, где R фиксир. действ. ч., R>0.

Понятие модуля, аргумента, действ. и мнимой части для ∞ не вводится; ∞ компл. ч. не является, но с ∞ возможны некоторые операции, напр., для комл. ч. z, ∞±z-∞; z/∞=0; ∞/z=∞; при z≠0 z∙∞=∞ и z/0=∞ и т.п. Лишены смысла конструкции ∞±∞, 0/0, ∞/∞, 0, ∞.

Основные св-ва:

1. окружности на сфере соответствуют окружностям на пл., причем окружностям, проходящим ч/з центр сферическим проекциям, соответствуют на пл. прямые линии.

2. Соответствие, устанавливаемое сферическими проекциями яв-ся конформным, т.е. сохраняет углы.

3. Отображение из С в С, его действительные и мнимые части. Прелел и непрерывность ф-ии комплексного переменного.

Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего понятия функций. В этом случаи область определения и множ значений как правило являются подмнож множ С, т.е. .

область множ

опред. знач.

z-множ т. Из обл. опред. ,

w=f(z)

Где z-аргумент, w-функция.

И этого следует, что задание функции комплексного переменного связано с заданием двух функций , v=v(x,y)

w=u(x,y)+i∙ v(x,y)

Rew=Ref(z)=u(x,y)

Imw=Imf(z)= v(x,y)

Наоборот задание пары функций двух дейст. переменных можно расценивать как задание функции комплексного переменного.

Таким образом задание функции комплексного переменного эквивалентно заданию пары функций двух действительных переменных, а геометрически оно иллюстрируется отображением множ т. z-плоскости на множ т. w-плоскости.

В частности при определенных ограничениях взаимная однозначность отображ и не прерывность w=f(z) будем иметь отображение областей (это связанное открытое множ при чем граница переходит в границу)

w=f(z)

1. w=z2

u(x,y)=

v(x,y)=2xy

2. w=

Данная функция является однозначной только в одну сторону, т.к. всем точкам w=R ставят в соответствии = R это окружность с центром в т. (0;0) и радиусом R. Следовательно в обратную сторону отображение многозначное.

Говоря о функции комплексного переменного мы будем иметь в виду однозначное отображение, но случай когда одному прообразу соответствует более одного образа множ, бесконечное множ), не будет исключением в дальнейших рассуждениях. Речь тогда пойдет о многозначных функциях.

3. w=Argz – функция многозначная бесконечно-значная, т.к.

4. w=

ai=const

z-аргумент.

Пусть ф-я w=f(z) определена и непрерывна во всех точках, кроме точки .

Опр. Комплексное число А наз. пределом ф-ии f(z) в т. , если . .

Для " e-окрестности найдется такая n-окрестность т. z-плоскости, которая целиком отображается в e-окрестность т.А. Пусть ф-я , , . ; .Справедливы основные теоремы о пределах. , ,то 1) ;

2) ;

3) .

Пусть ф-я w=f(z)определена в некоторой окрестности .

Опр.Ф-я w=f(z) наз.непрерывной в т. , если .

Опр.Ф-я явл. непрерывной в т. =x+iy, если ф-ии u(x,y) и v(x,y) – непрерывны в т. .

Опр.Ф-я f(z) – наз.непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Для непрерывных ф-ий справедливы теоремы о непрерывности. f(z)+q(z); f(z)*q(z); f(z)/q(z),q(z)не=0.

Опр.Ф-я w=f(z) наз.равномерно непрерывной на мн-ве Е, если .



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.