Дробно - линейная функция и её свойства.

Для того чтобы было комфорными, нужно чтобы

Интересен случай когда , т.к. функция превращается в линейную.

Ф-ия будет аналитической, поэтому она отобр. конформным отображением - плоскости, т.е.

Для рассмотрения св-в этой функции рассм. частный случай .

Этот частный случай получается из общего .

Св-ва этой функции состоит в том, что это преобр. явл. композицией 2-ч преобразов. симметрии.

1. Инверсия – преобр. точки относительно окружности (0,1).

2. Симметрии относительно прямой (в данном случае отн. оси ОХ).

Любое дробно-линейное отображение

Можно описать как композицию 2-х преобразований: подобие и симметрии

Кроме этих св-в дробно-линейн функции обладает след св-ми.

1. Групповое.

Совокупность всех дробно-линейных преобразований образует группу относит. операции умножения.

2. Круговое

Можно обосновать что при дробно-линейном отображение любая окружность отображения в окружность в частности прямую можно рассмотреть как частн. случай окружности с бесконечн радиусом.

На практике выяснить в какую линию преобразовать исходн. линию позволяет подстановка(проверка) принадлежности праобразу точки , если

3. Дробно-линейная функция может быть обнозначно задана с помощью указания образов 3-х точек.

В результате получим

Замечание:

Если окажется, что какое-то из чисел

, то с использованием понятия линейн. перехода можно доказать, что в этом случае для нахождеия дробно-линейн. ф-ии, разность в котор входит бесконечность нужно заменить на 1.

4. С помощью дробно-линейного отображения можно совершать преобразования круговых областей, руководствуясь правилом обхода области по контуру.

Например при обходе по границе области праобраза от т. до т. область остается справа, то и при обходе обл. образа т. до область будет так же оставаться справа.

Cтепенная функция и радикал. Понятие о Римановой поверхности.

Общий вид степенной функции с натуральным показателем

Рассмотрим теорию для частного случая, который получается из общего параллельным переносом на вектора

Для частного случая , поэтому отображение будет конформным.

Рассмотрим св-ва:

Определим, как будет отображаться координатная сетка. Зафиксируем для этого z.

Рассмотрим угол

При том образом данного угла будет вся w плоскость с разрезом по положительным направлениям оси Ox

Если угол будет расти и примет значение

То образ начнет покрывать W-плоскость вторично, как бы переходя на новый лист W-плоскости как по винтовой линии.

Когда станет равным , то W покроется вторично.

Увеличивая мы будем получать все новые и новые экземпляры W-плоскости с разрезом, которые в конечном итоге и будут образовывать Риманову поверхность.

При , мы получим образ, соответствующий , т.е. последний n-ый лист римановой поверхности должен без самопересечения склеиться с первым листом.

В трехмерном пространстве такие поверхности не помещаются, след-но они пред-ют собой идеальную модель.

В z=0 конформность отображения нарушается, поэтому соотв-ю ей точку N=0, называют точкой разветвления n-го порядка.

Рассм ф-цию обратную к степенной , z – натур. Эта ф-ция в кажд точке z ставит в соотв-ии , кот-я м.б. вычислена по ф-ле Муавра.

Эта ф-ла при , позволяет получить n-разных знач-й корня n-й степени.

Если рассм ф-цию в w-плоскости, то она будет многозначной (n-значной). Если рассм ф-цию Римановой пов-ти, то ф-ция будет однозначной. В этом и заключается смысл Римановой пов-ти. Н-р, все значения этого корня лежат на окружности с центром (0;0) и и являются вершинами правильного треугольника (n-угольника n=3)

Показательная функция.

Показательная ф-ция м.б. определена с помощью ряда

Рассмотрим св-ва показ-й ф-ции:

1. отображение конформно в любой точке пл-ти.

2.

3.

4. Периодичность ф-ции , k=0,1,…

Рассмотрим св-ва отображения z-плоскости с помощью этой ф-ции

1) x=с=const ,

2) y=с

Логарифмическая функция.

Логарифм ф-ция каждому ставит в соответствие

, k=0,1,2,…

Пример:

Ln(-i)=?

Z=-i

Логарифмическая функция – бесконечнозначная функция.

Можно показать, что справедливы все формулы для логарифма, аналогичные соответствующим ф-лам для действит-го логарифма.

и т.д.

Иногда бывает полезно рассмотреть главные значения логарифма:

Рассмотрим рассуждения о вышесказанных показат-х функциях следует, что отображение взаимнооднозначное для полосы

При отображении соседних полос будут получаться следующие экземпляры w-плоскости с разрезом, поэтому логарифмическая ф-ция будет однозначной на своей бесконечно-листной римановой пов-ти. При чем - это точка разветвления бесконечного порядка.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: