Рассмотрим задачи, содержащие несколько полов и потолков.

1) что такое |‾ |_х_|‾|? Ответ прост. Т.к. |_х_| - целое число, то |‾ |_х_|‾| - это просто |_х_|. Аналогичный ответ будет для любого другого выражения, в котором самый внутренний |_х_| окружен каким – угодно числом полов и потолков.

2) проверить верно ли утверждение:

|_ _|= при x R

Очевидно, что данное равенство справедливо при х Z, т.е. когда х – целое, т.к. в этом случае х=|_х_|. Равенство справедливо и для х=π=3,14159..., х=е=2,7182…, φ=(1+ )/2=1.61803. Т.к. во всех этих случаях получаем, 1=1. это частные случаи, которые не дают ответа в общем случае.

Для доказательства положим m=|_ _|. Воспользуемся правилом (а), получим: m≤ <m+1. тем самым мы избавляемся от скобок наружного пола, ничего не теряя при этом. Т.к. все три части последнего неравенства неотрицательны, возведем и х в квадрат, получим: m²≤|_х_| <(m+1)². Извлечем корень из всех частей, получим m≤√х<m+1 и воспользуемся правилом (а), получим m=|_ _|. Итак, доказали, что |_ _|= m=|_ _|.

Утверждение задачи 2 можно доказать для более общего случая.

Теорема: Пусть f(x)- непрерывная монотонно возрастающая функция, обладающая свойством что f(x) – целое число, следовательно х = целое число. Тогда выполняется равенство:

|_f(х)_|=|_f(|_х_|)_| и |¯f(х)¯|=|¯f(|¯х¯|)¯| (7)

всякий раз, когда определены функции f(x), f(|_х_|) и f(|¯х¯|).

Докажем второе равенство: |¯f(х)¯|=|¯f(|¯х¯|)¯|, а доказательство для полов будет подобным.

Если х=|¯х¯|, то доказательство очевидно. (х=|¯х¯| <=> х Z). В противном случае х<|¯х¯|, а f(x)< f(|¯х¯|), т.к. f(x) – возрастающая функция. Тогда |¯f(х)¯|≤ |¯f(|¯х¯|)¯|, т.к. функция потолок |¯…¯| - неубывающая функция. Если |¯f(х)¯|< |¯f(|¯х¯|)¯|, то должно найтись число у, такое что х≤у≤|¯х¯| и f(x)= f(|¯х¯|), т.к. f – непрерывная функция. Причем у – целое по определению функции f. Но непосредственно между х и |¯х¯| не может быть никакого целого числа. Это противоречие означает, что выполняется равенство: |¯f(х)¯|=|¯f(|¯х¯|)¯|.

Следствие: для всех m,n Z и n>0 выполняются равенства:

Пусть m=0, тогда . Троекратное деление на десять с последовательным округлением (отбрасыванием) цифр остатка – это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.

Решение многих задач математики приводит к вопросу: сколько целых чисел содержится в интервале? Рассмотрим эту задачу для открытого интервала – (α,β); замкнутого – [α,β]; полуоткрытого – [α,β); ( α,β].

Решим эту задачу сначала для полуоткрытых интервалов [α,β); ( α,β].

Вообще, почти всегда удобнее иметь дело с полуоткрытыми интервалами, чем с открытыми и замкнутыми. К примеру, они аддитивны – при объединении полуоткрытых интервалов [α,β) и [β,γ) получается полуоткрытый интервал: [α,β) ∪ [β,γ) = [α,γ).

Для открытых интервалов это равенство не выполняется, т.к. точка β не входит ни в один из интервалов и она оказывается исключенной из интервала (α,γ).

Для замкнутых интервалов – точка β входит в оба интервала и она оказалась бы включенной в [α,β] – дважды.

Вернемся к решению задачи.

Рассмотрим случай, когда α и β – целые числа. Тогда интервал [α,β) содержит ровно β – α целых чисел: α, α+1,…, β-1. При условии, что α ≤β. Точно также интервал ( α,β] содержит β – α целых чисел (α ≤β).

Пусть теперь α и β – любые действительные числа. Тогда в силу свойств 1°-4° из (2) наша задача сводится к более легкой:

α ≤n< β <=> |‾ α ‾|≤n< |‾β‾|,

α <n≤ β <=> |_ α _|≤n< |_β_|.

Когда n – целое число. Интервалы справа имеют целочисленные концевые точки и содержат такое же количество целых чисел, что и интервалы слева, имеющие концами действительные числа. Поэтому интервал [α,β) содержит ровно |‾β‾| - |‾ α ‾| целых чисел, а интервал ( α,β] ровно |_β_| - |_ α _| целых чисел. Эта задача относится к случаю, когда действительно необходимо обзавестись скобками пола и потолка, вместо того чтобы избавляться от них.

Замечание. Для запоминания удобно установить закономерность: интервалам, содержащим левую концевую точку [α,β) соответствуют потолки, а интервалам, содержащим свою правую концевую точку ( α,β] соответствуют полы. Хотя интуитивное ожидание было противоположным.

Аналогичный разбор показывает, что замкнутый интервал [α,β] содержит |_β_| - |‾ α ‾| +1 целых чисел, а открытый интервал (α,β) содержит |‾β‾| - |_ α _| - 1 целых чисел, в последнем случае налагаем условие, что α≠β. Если же α=β, то мы получим, что пустой интервал (α,α) содержит -1 целых чисел. Итак, решение задачи можно представить в виде:

интервал количество ограничение

целых чисел (9)

[α,β] |_β_| - |‾ α ‾| +1 α ≤β

[α,β) |‾β‾| - |‾ α ‾| α ≤β

( α,β] |_β_| - |_ α _| α ≤β

(α,β) |‾β‾| - |_ α _| - 1 α <β

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: