ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. КРИТЕРИЙ ВЗАИМНОЙ ПРОСТОТЫ.

Теорема о делении с остатком:Пусть f(x), g(x)ÎР[х], g(x)¹0. Тогда существует единственная пара полиномов q(x), r(x)ÎР[х], такая, что f(x)=g(x)*q(x)+r(x), где степень r(x)<степени g(x)либо r(x)=0.

Алгоритм Евклида: Пусть f(x) и g(x) — два многочлена над полем Р. f(x) , g[x] ÎP[x]; g(x)¹ 0. Тогда можно разделить с остатком f(x) на g(x).

f(x)=g(x)q(x)+r(x) , если r(x) ¹0, степень r(x)<степени g(x).

Разделим g(x) на r(x) с остатком g(x)=r(x)q1(x)+r1(x), если r1(x) ¹0 степень r₁ < степени r.

Разделим r(x) на r1(x) и т.д.

Так как степени остатков все время убывают, то на каком-то шаге остаток r_k+1(x)=0.

f(x)=g(x)q(x)+r(x) ; r(x) ¹0

g(x)=r(x) q1(x)+r1(x) ; r1(x) ¹0 ; cт. R1< ст. r

(4) r(x)=r1(x)q2(x)+r2(x)

…………………..

(r)(k-1) (x)=rk(x)(q) (k+1)(x)+ (r)(k+1) (x), (r)(k+1) (x)=0.

Процесс последовательного получения равенств (4) называют алгоритмом Евклида для полиномов f(x) и g(x). Последний отличный от нуля остаток — rk.

Определение.Полиномы f(x), g(x) называются взаимно простыми, если их НОД равен единице.

Теорема 5 (критерий взаимной простоты).

Полиномы f(x) и g(x) взаимно простоты <=> $ полиномы f (х) и y(х), такие, что f(x)f(х) + g(x)y(х)=1

< Þ Имеем f(x) и g(x) взаимно простые, то $ f(х) и y(х), такие, что f(x)f(х) + g(x)y(х)=1. Это следует из основного свойства НОД (Пусть d(x)=НОД (f(x),g(x)). Тогда существуют такие полиномы f (х) и y(х), что d(x)= f(x)f (х)+ g(x) y(х) )

Ü Пусть d(x)= НОД (f(x),g(x).Значит d(x) | 1 Þ d(x)=1 и значит полиномы взаимно простые.>

НЕПРИВОДИМЫЕ ПОЛИНОМЫ.

Пусть f(x) ÎP[x], степень f(x) ≥ 1, очевидно, что a│f(x), aÎP, a ≠ 0.

Определение.Если полином f(x) не имеет других делителей из Р[x], то он называется неприводимым полиномом над полем Р.

Т.о. полином f(x)ÎP[х] степени n≥1 неприводим над полем Р тогда <=> из разложения f(х) = f(х)y(х), где f(х) ,y(х)ÎP[x], следует, что степень одного из полиномов f(х) ,y(х) равна нулю, а другого n.

Многочлен f(x) называется приводимым над полем Р, если в кольце Р[х] существуют делители f(x), степени которых больше нуля, но меньше степени f(x). Другими словами, многочлен f(x) степени n≥ 1 приводим над полем Р <=> его можно представить в виде произведения двух многочленов из Р[х], степень каждого из которых меньше n.

Простейшие свойства неприводимых многочленов:

1) Всякий полином первой степени неприводим (это следует из определения)

f(x)=f1(x)f2(x), deg f(x)=1 Þ deg f1(x)=0 или 1, deg f2(x)=1 или 0;

2) Если f(x) неприводим над полем Р,то аf(x), где aÎP, a ≠ 0, тоже неприводим над полем Р;

3) Если f(x) неприводим над полем Ри g(x) ÎP[x] — некоторый полином над P , то ( f(x), g(x) )=1 либо f(x) │ g(x).

< Рассмотрим НОД полиномов (f(x), g(x))=d(x).Значит d(x) │ g(x) и d(x) │ f(x) Þ d(x) равен 1, т.е. (f(x), g(x))=1

или , т.е. f(x) / g(x). >

4) Если произведение полиномов f(x)g(x) делится на неприводимый полином h(x) , то хотя бы один из множителей f(x) или g(x) делится на h(x) < Пусть h(x) ∤ f(x) Þпо свойству 3 (h(x),f(x))=1 Þ

Þ и , ибо h(x) │ f(x)g(x) и h(x) │ g(x)h(x). >

Теорема 1 (о разложении полинома на неприводимые множители). Всякий полином f(x)ÎP[x] степени ≥1 можно представить в виде

произведения неприводимых над P полиномов. Разложение полинома на неприводимые множители определено однозначно с точностью до полинома нулевой степени и порядка следования сомножителей, то есть если имеется два разложения f(x) на неприводимые множители:f(x)= φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x) , то s=k и при подходящей нумерации множителей : ψi =ai φi i = 1,…,s 0 ≠aiÎP.

21.поле комплексных чисел, комплексная полскость

Определение 2. Полем комплексных чисел называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел . При этом каждая такая пара называется комплексным числом²⁾.

Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости .

Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу

для всех ,

и определим операцию умножения:

для всех .

Предложение 1. Множество является полем

Нулевым элементом в поле является пара , а единичным— пара . Противоположный элемент для — это , а обратным для ненулевого является .

33) Подстановки, умножение подстановок

Определение. Всякое взаимно однозначное отображение множества А первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени, причем, очевидно, всякая подстановка А может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой

(1)

Через α_i здесь обозначается то число, в которое при подстановке А переходит число i , i = 1, 2, …, n.

Запишем одну под другой две перестановки из n символов, беря полученные две строки в скобки; например, n=5:

Умножение подстановок

Определение. Произведением первой подстановки на вторую называют последовательное выполнение двух подстановок n-й степени, приводящее к некоторой вполне определенной третьей подстановке n-й степени.

так, если даны подстановки четвертой степени

то

Невырожденные матрицы

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• M обратима, то есть существует обратная матрица
• строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

38)Определитель Вандерморта

Определителем Вандермонда называется определитель

Док-во

База

. В данном случае матрица представляет собой

Очевидно, её определитель равен .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: