МИНОРЫ И ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА.

Пусть В — некоторая матрица размером n x n. В = ,и kÎN, 1 ≤ k ≤ n.

Опр. В квадратной матрице порядка n зафиксируем k ≤ n строк и столько же столбцов из элементов, которые стоят на пересечении фиксированных строк и столбцов, составляем матрицу, не нарушая взаимного расположения, определитель этой матрицы называется минором.

Минор M’ расположенный в оставшихся строках называется дополнительным.

Введем еще следующую сумму: S_M = i₁+ i₂+ ...+i_k + j₁+ j₂+ ...+j_k. Сумма S_M — это сумма номеров выделенных строк и выделенных столбцов. Тогда

М₁=А_m называется алгебраическим дополнением к минору М.

Существует общий способ сведения вычисления определителей порядка n к вычислению определителей меньших порядков с применением понятия минора и алгебраического дополнения.

Теорема Лапласа.Если в определителе порядка М зафиксировать к<n строк, тогда определитель матрицы равен сумме произведений всех миноров, содержащихся в выделенных строках, на их алгебраические дополнения, т.е. | B | = M1A1 + ... + MsAs.

Следствие 1 (разложение определителя по строке).Определитель матрицы В равен сумме произведений элементов какой–нибудь строки на их алгебраические дополнения.

< Следует из теоремы Лапласа при k = 1. >

Следствие 2. Сумма произведений элементов строки определителя матрицы B на соответствующие дополнения к элементам другой строки равна нулю, т.е..

Пример:

det = det * det * (-1)(^1+2+1+2) = det * det = (-2) * (-3) = 6.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ.

Теорема.Пусть А и В — две квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель их произведения равен произведению определителей, т.е.

| AB | = | A| | B |.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

A

||

(d) (2n) =

||

B

(d) (2n) = | A | | B | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B |.

Если мы покажем, что определитель (d) (2n) равен определителю матрицы С=АВ, то теорема будет доказана.

В (d) (2n) проделаем следующие преобразования: к 1 строке прибавим (n+1) строку, умноженную на а11; (n+2) строку, умноженную на а12 и т.д. (2n) строку, умноженную на (а) (1n) . В полученном определителе первые n элементов первой строки будут нулями, а n других элементов станут такими:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (а) (1n) * (d) (1n) = c11_;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (а) (1n) * (d) (2n) = c12_;

_...

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (а) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n)_.

Аналогично получаем нули во 2, …, n строках определителя (d) (2n) , причем последние n элементов в каждой из этих строк станут соответствующими элементами матрицы С. В результате, определитель (d) (2n) преобразуется в равный ему определитель:

(d) (2n) = | C | (-1) )(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Следствие. Определитель произведения конечного числа квадратных матриц равен произведению их определителей.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Пусть A = (aij) (n x n) квадратная матрица над полем Р.

Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.

Определение 2. Пусть АÎP_n. Матрицу ВÎP_n будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий обратимости матрицы).Матрица А обратима <=> она невырожденная.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Пусть, обратно, | A | ¹ 0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:

В = ,где А_ij — алгебраическое дополнение к элементу а_ij . Тогда

АВ =

Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е. >

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.

А = detA=-3 Þ обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.

А₁₁ = -3 А₂₁ = 0 А₃₁ = 6

А₁₂ = 0 А₂₂ = 0 А₃₂=-3

А₁₃ = 1 А₂₃ = -1 А₃₃ = -1

Итак, обратная матрица имеет вид:

В = =

КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ.

Рассмотрим выражение:

=Sⁿ_i=0a_ixⁱ, a_iÎA

Пусть А- коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, х — переменная, x^0, х^1, х^2…х^n-степени переменной, a_i – коэффициенты полинома f(x), a_ixⁱ - члены.

Определение 1. Формальное выражение вида

a_nхⁿ+а_n-1х^n-1+…+а₀ (1),где а_n,…а₀ÎР называют полиномом над полем Р от переменной х, а_n,…а₀ — коэффициенты полинома.

Если а_n¹0,то a_nхⁿ называется старшим членом полинома, а_n — старший коэффициент полинома. n=deg (полинома) — степень полинома.

Множество полиномов над полем Р будем обозначать через Р[х], при этом полиномы будем обозначать так: f(x),g(x)…

Степень полинома, у которого все коэффициенты равны нулю будем считать неопределенной. Иногда нулевому полиному приписывают степень, равную - ¥.

Определение 2. Два полинома называют равными, если равны их коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях.

Сложение полиномов:

f(x)=a0+a1 x+…+an x^n

g(x)=b0+b1 x+…+bs x^s , s£n

Под суммой полиномов f(x)+g(x) понимают полином

f(x)+g(x)=c0+…+cn x^n , где cj=aj+bj.

Очевидно, что сложение полиномаов коммутативно и ассоциативно, так как всё сводится к сложению элементов числового поля.

Определение 3.Под произведением полиномов f(x)*g(x) понимают полином f(x)*g(x)= d₀+…+d_n+sx^n+s, где .

ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ.

Определение1.Пусть f(x), g(x)ÎР[х], где Р - поле. Будем говорить, что f(x) делит g(x) (обозначать f(x)ïg(x) ), если существует j(х)ÎР[х] такое, что g(x)=f(x)*j(х).

Простейшие свойства:

1)Если g(x) делит fi(x), i=1..n, то g(x) делит .

2)Если f(x) / g(x)и g(x) / m(x), тогда f(x) / m(x).

3)Если f(x) / g(x)и g(x) / f(x), то f(x)=ag(x),где aÎР.

Докажем первое свойство:

◄g(x) / fi(x) следовательно $ многочлен ji(х), что fi(x) = g(x)ji(х), следовательно

Вынесем общий множитель g(x) за знак суммы. А это и означает, что g(x) делит сумму . >

Второе свойство доказывается аналогично, как и для чисел.

Докажем третье свойство:

< f(x) / g(x)®g(x)=f(x)*m(x) (1)

g(x) / f(x)®f(x)=g(x)*q(x) (2)

Подставим (2) в (1):

g(x)=g(x)*q(x)*m(x) Þ g(x)*(q(x)*m(x)-1)=0Þq(x)*m(x)=1.

Из леммы следует, что степень q(x)= степени m(x)=0.

Иначе говоря, что q(x) и m(x) — это элементы поля P. А это и доказывает свойство 3. >

НОД ПОЛИНОМОВ.

Определение 1.Полином d(x) называется общим делителем полиномов f (х) и g(x), если он является делителем каждого из них.

Определение 2. НОДом двух ненулевых полиномов f(x) и g(x) называется их общий делитель, который делится на любой другой общий делитель этих полиномов.

Лемма 1.Если f(x) = g (x) q (х) + r (х), то полиномы f (x), g(x) имеют те же общие делители, что и полиномы g(x), r(х).

< Пусть d(x) — общий делитель f (х) и g(x). Так как r(х) = = f(x) — g(x)q(x), то d(x) делит г(х) и, следовательно, есть общий делитель g(x) и r(х). Аналогично всякий общий делитель g(x) и r (х) является общим делителем f (х) и g(x).>

Теорема. НОД любых двух ненулевых полиномов f (х) и g(x) всегда существует. Он равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида, если g(x) не делит f(x), и совпадает с g(x) в противном случае.

Теорема. Пусть d(x)=НОД (f(x),g(x)). Тогда существуют такие полиномы f (х) и y(х), что d(x)= f(x)*f (х)+ g(x) y(х)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: