Простейшие свойства колец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУППЫ.

Опр1.Пусть G не пустое множество элементов произвольной природы. G называется группой, если выполняются следующие условия:

1) На множестве G задана бао °.

2) бао ° ассоциативна.

3) Существует нейтральный элемент nÎG.

4) Для любого элемента из G симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит такжеG.

Пример. Множество Z – чисел с операцией +.

Опр2.Группа называется абелевой, если она коммутативна относительно заданной бао °.

Примеры групп:

1) Z,R,Q «+» (Z+)

2)R*=(R\{0},*)

Q=(Q\{0},*)

Z*=(Z\{0},*)

Простейшие свойства групп

В группе существует единственный нейтральный элемент

В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент

Пусть G — группа с бао °, тогда уравнения вида :

a°x=b и x°a=b (1) — разрешимы и имеют единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а'. Так как операция ° — ассоциативна, то очевидно x=b°a' — единственное решение.

34. ЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ*

Определение 1. Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.

Предложение 1.Подстановка

является четной <=> — четная перестановка. Следовательно, количество четных подстановок

из n чисел равно n!\2.

Предложение 2. Подстановки f и f ^-1 имеют один характер четности.

> Достаточно проверить, что если — произведение транспозиций, то <

Пример:

ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.

Опр.Пусть G — группа c бао ° и не пустое подмножество HÌG, тогда H называют подгруппой группы G, если H —подгруппа относительно бао° (т.е. ° - бао на Н. И Н с этой операцией группа).

RÉQÉZ

R*ÉQ*

Теорема (критерий подгруппы).Пусть G — группа относительно операции°, ƹHÎG. H является подгруппой <=> "h₁,h₂ÎH выполняется условие h₁°h₂'ÎH (где h₂' — симметричный элемент к h₂).

Док-во. =>:Пусть H — подгруппа (нужно доказать, что h₁°h₂'ÎH). Возьмем h₁,h₂ÎH, тогда h₂'ÎH и h₁°h'₂ÎH (так как h'₂ — симметричный элемент к h₂).

<=: (надо доказать, что H — подгруппа).

Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h'ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h₁ берем n, а в качестве h₂ возьмём h тогда h'ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.

Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.

Возьмём h₁ , а в качестве h₂ возьмём h'₂ Þ h₁°(h₂') ' ÎH, Þ h₁°h₂ ÎH.

Пример.G=S_n, n>2, α — некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S^α_n ={fÎ S_n ,f(α)=α}, при действии отображения из S^α_n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h₁,h₂ÎH. Произведение h₁^.h₂'ÎH, т.е H — подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.

КОЛЬЦО, ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ.

Опр.Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. Кназывается кольцом, если выполняются следующие условия:

1)К—абелевагруппа(коммутативна относительно заданной бао °) относительно сложения;

2) умножение ассоциативно;

3)умножение дистрибутивно относительно сложения( ).

Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом. Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей.

Примеры.

1)Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.

2) Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями

относительно обычных операций сложения и умножения чисел.

Простейшие свойства колец.

1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К переносятся простейшие свойства групп.

2. Умножение дистрибутивно относительно разности: a(b-c)=ab-ac.

Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то a(b-c)=ab-ac.

3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,что a=0 b=0.

Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не равные нулю такие, что их произведение будет нуль: ,где — играет роль нулевого элемента.

4. a·0=0·а=0.

Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.

5. a(-b)=(-a)·b=-ab.

Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении.

7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов кольца образуют группу относительно умножения, которую называют мультипликативной группой кольца K и обозначают K*.

Опр.Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем.

Простейшие свойства поля

1. Т.к. поле — кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.

2. В поле нет делителей нуля ,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0.

Доказательство.

Если a¹0 ,то $ a^-1 . Рассмотрим a^-1 (ab)=( a^{-1 a})b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0

3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a^-1b, или х=b/a.

Решение этого уравнения называется частным.

Примеры.1)PÌC, P — числовое поле. 2)P={0;1};

3) P={0;1;2} .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: