ТЕМА 4. Непрерывная статистическая совокупность и ее описание

Параметры распределения. Математическое ожидание. Характеристика рассеяния вариант. Дисперсия и коэффициент вариации. Выборочная оценка математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента асимметрии. Стандартные ошибки статистик непрерывного распределения. Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии нормального распределения.

Литература: [1, 2, 5, 7, 9, 12].

Методические указания

Перед изучением материала данной темы полезно повторить тему "Числовые характеристики случайной величины" из раздела "Теория вероятности".

Следует понимать, что большинство симметричных распределений, в том числе и нормальное, достаточно полно описываются всего двумя параметрами, указывающими: 1) положение центра, вокруг которого группируются варианты; 2) рассеяние вариант относительно этого центра.

Необходимо обратить внимание, что при анализе выборочной совокупности математическими аналогами математического ожидания и теоретического среднего квадратического отклонения служат соответственно среднее арифметическое значение (среднее значение) и эмпирическое среднее квадратическое отклонение . Причем величина всегда меньше . Заметим, что величина стремится к при числе элементов выборки .

Полезно запомнить, что в случаях, когда применение математического ожидания для характеристики центра распределения невозможно или нецелесообразно, используется параметр – медиана, которая делит совокупность на две части так, что половина всех вариант меньше этой величины, другая половина – больше.

Положение центра распределения характеризуют также и модой – серединой того разряда группировки, в котором содержится наибольшее число вариант. Полезно знать, что мода является единственно возможной характеристикой центра распределения при группировке по качественному признаку.

Нужно помнить, что значение не всегда достаточно полно характеризует вариабельность величины, поэтому важно разобраться в понятии коэффициента вариации, как относительного среднего отклонения, выраженного в %.

Следует четко уяснить, что центром распределения средних значений является математическое ожидание a. Хотя выборочное среднее значение , полученное по результатам одной только выборки, и не равно математическому ожиданию генеральной совокупности, оно все же указывает значение, вблизи которого находится a. Поэтому выборочное среднее значение называют оценкой математического ожидания (выборочной оценкой). Аналогично, существует и выборочная оценка дисперсии.

Необходимо понять смысл терминов – несмещенная и смещенная оценка, при нахождении которых вводится понятие число степеней свободы. Желательно запомнить, что дисперсия выборки вычисляется по n отклонениям, связанным одним условием, так, что число степеней свободы выборочной дисперсии равно n – 1; среднее же значение вычисляется по n вариантам, не связанным каким-либо условием, а поэтому число степеней свободы среднего значения равно n.

Далее переходят к изучению стандартных ошибок статистик непрерывного распределения. При этом следует обратить внимание, что концентрация значений около a тем теснее (то есть их рассеяние тем меньше), чем больше объемы выборок. Понятно, что если принять в качестве, то будет допущена ошибка, которая характеризуется стандартным отклонением среднего значения (стандартной ошибкой среднего значения). С учетом вышесказанного можно заметить, что стандартная ошибка среднего значения уменьшается с увеличением объема выборки. Если желательно, чтобы стандартная ошибка среднего значения не превышала определенной заданной величины, то нужно до начала исследования спланировать объем выборки.

Полезно также самостоятельно разобраться, как вычисляются стандартные ошибки несмещенных выборочных оценок дисперсии, стандартного отклонения, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии.

После изучения стандартных ошибок переходят к рассмотрению понятия доверительного интервала. Этот материал рекомендуется изучать на нормальном распределении. Весьма полезным при изучении этого материала будет построение на графике теоретической кривой нормального распределения доверительных интервалов для значений математического ожидания a, попадающего в этот интервал с определенной вероятностью, например, 95,5%, 99,7%, 68,3%. Следует разобраться с использованием распределения Стьюдента и Пирсона для определения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения.

Контрольные вопросы по теме

1. Что такое математическое ожидание?

2. Среднее арифметическое наблюдаемых значений. Свойства среднего арифметического.

3. Объясните отличие среднего арифметического от математического ожидания.

4. Почему среднее арифметическое называют выборочным аналогом математического ожидания?

5. Какой параметр является мерой рассеяния случайной величины относительно математического ожидания?

6. Что такое генеральная дисперсия и генеральное среднее квадратическое отклонение?

7. Как различаются генеральная и выборочная дисперсии?

8. Как оценивают генеральную дисперсию?

9. Что представляют собой асимметрия и эксцесс распределения?

10. Как сказывается величина эксцесса на форму полигона частот?

11. Поясните разницу между точечной и интервальной оценками.

12. Что представляет собой надежность оценки?

13. Объясните понятие "доверительный интервал для математического ожидания" на примере нормального распределения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: