Примеры решения типовых задач
Рассмотрим два наиболее простых способа нахождения неопределённых коэффициентов на одном конкретном примере.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. I метод – метод неопределённых коэффициентов.
Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами: . Приведя к общему знаменателю правую часть, получим равенство числителей: .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях этого равенства.
При .
При .
При .
Тогда и .
Далее находим неопределённый интеграл:
II метод – метод частных значений.
Придадим аргументу столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя.
,
,
. Тогда получим систему независимых уравнений, из которой имеем: .
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами: . Приведя дроби в обеих частях к общему знаменателю, получим: . Найдём неопределённые коэффициенты методом частных значений, придадим аргументу последовательно значения –1, 1, 0. Получим систему: , откуда и . Таким образом: .
Пример 3.Вычислить интеграл .
Решение. Выделим целую часть дроби:
.
Разложим знаменатель дроби на множители с действительными коэффициентами:
. Умножая это равенство на общий знаменатель, получим: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.
При .
При .
При . Тогда и
. Итак, вычислим неопределённый интеграл: .
Задания для самостоятельной работы
4. Вычислить интеграл от дроби, содержащий в знаменателе квадратный трехчлен.
а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) ;
| д) ;
| е) ;
| ж) ;
| з) ;
| и) ;
| к) .
|
5. Вычислить интегралы от рациональных функций.
а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) ;
| д) ;
| е) ;
| ж)
| з) ;
| и) ;
| к) .
|
4. Интегрирование некоторых тригонометрических и иррациональных функций
В этом параграфе для интегралов от некоторых классов тригонометрических и иррациональных выражений будут даны рационализирующие подстановки, то есть замены переменной, приводящие исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Здесь через будем обозначать рациональные функции.
4.1. Интегрирование тригонометрических функций
I. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки.В этом случае .
Подставляя в подынтегральное выражение вместо их выражения через , получим интеграл от рациональной дроби:
.
В случае, когда имеет место тождество
для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощённую подстановку .При этом .
Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .
Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .
II. Для отыскания интегралов вида
используют следующие формулы:
При нахождении интегралов вида возможны следующие случаи:
1) хотя бы одно из чисел или – нечетное, например , тогда
2) оба числа или – четные, тогда рекомендуется использовать следующие формулы, позволяющие понизить степень тригонометрических функций: ,
4.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определённых подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.
I. Интеграл вида , где – постоянные, приводятся к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки , где наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей , т.е. .
II. Интегралы вида
тригонометрическими подстановками соответственно сводятся к уже рассмотренным интегралам вида .
К рассмотренным интегралам могут быть преобразованы интегралы , если из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат суммы и сделать линейную замену переменной. Существуют и другие методы интегрирования указанного интеграла, мы их здесь не рассматриваем.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|