Примеры решения типовых задач

Пример 1. Производная функция (в денежном выражении) имеет вид ( – количество единиц первого ресурса, – второго). Стоимость единицы первого ресурса – 2, второго – ден. ед. Найти максимальную прибыль при использовании ресурсов.

Решение. Производственная функция в денежном выражении равна доходу от использования ресурсов. Издержки при этом равны . Таким образом, функция прибыли равна

Требуется найти ее максимум.

Частные производные функции равны ; . Приравнивая их к нулю, найдем решение , . Частные производные второго порядка имеют вид: , , .

. .

Таким образом, найденная критическая точка есть точка максимума. Соответствующее значение прибыли равно (ден. ед.).

Пример 2.Производственная функция равна , стоимость единицы первого ресурса равна 5, второго – 10. В силу бюджетных ограничений на ресурсы может быть потрачено не более 600 ден. ед. В этих условиях найти оптимальное для производителя значение количества используемых ресурсов.

Решение. Следует максимизировать функцию , при условии, что . Оптимальное распределение ресурсов в ситуации, когда ограничение отсутствует можно найти аналогично примеру 1 . Тогда оптимальные затраты на ресурсы равны . Можно показать, что в этом случае в условиях наличия ограничений на ресурсы следует потратить всю возможную сумму.

Итак, имеем задачу максимизации функции

при условии что , или .

Первый способ. В силу ограничений имеем и .

Производная функции . Приравнивая ее к нулю, получим решение , откуда . Максимальная прибыль при этом равна (ден. ед.).

Второй способ. При условии, что , функция прибыли имеет вид . Очевидно, что если какое-то значение уровня функции должна пересекаться с прямой .

Уравнение линии уровня функции прибыли может быть записано как , где .

Легко видеть, что максимальное значение , а, следовательно, и уровня достигается в том случае, если соответствующая линия уровня касается прямой . Так как градиент в каждой точке ортогонален линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом: вектор ортогонален прямой . Эта прямая имеет угловой коэффициент, равный . Угловой коэффициент прямой, проходящей через вектор равен . По условию перпендикулярности прямых имеем , т.е. , или . Подставляя полученное выражение в управление прямой , находим .

Замечание. Оптимальное решение лежит на прямой ограничений (в данном случае на прямой ) только в том случае, если при оптимальном решении без ограничений сумма, затрачиваемая на ресурсы, больше ограничительной. В противном случае решение задачи с ограничениями просто совпадает с решением задачи без ограничений.

Пример 3.Функция полезности имеет вид:

.

Цена единицы первого блага равна 8, второго – 16. На приобретение этих благ может быть затрачена сумма, равная 1000. Как следует распределить эту сумму между двумя благами, чтобы полезность от их приобретения была бы наибольшей?

Решение. Рассмотрим линии уровня функции полезности , т.е. . Используя свойства логарифмов, имеем:

, т.е. , где .

Таким образом, линии уровня представляют собой графики функции .

Используя рассуждения, приведенные в предыдущем примере, получаем, что в точке , в которой достигается максимальная полезность, линия уровня касается прямой , или . Значит, градиент функции полезности должен быть перпендикулярен этой линии. Градиент функции полезности имеет вид . Угловой коэффициент прямой . Используя условие перпендикулярности прямых, имеем , или . Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

т.е. .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1969. – 440с.;

2. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа, ч.1.– М.: Просвещение, 1971. – 343 с.;

3. Давыдов Н.А. и др. Сборник задач по математическому анализу.–М.: Просвещение, 1973. – 256 с.;

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – М.: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 304 с.;

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.– М.: ЮНИТИ, 1997. – 479 с.;

6. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: В 2-х т.: Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Ряды. – Висагинас: «Alfa», 1998.–400с.;

7. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: В 2-х т.: Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функции многих переменных. Гармонический анализ. – Висагинас: «Alfa», 1998. – 384 с.;

8. Кузнецов Б.Т. Математика. – М.:ЮНИТИ, 2004. – 719 с.;

9. Лекции по математическому анализу / Архипов Г.И. , Садовничий В.А., Чубариков В.Н. – М.: Дрофа, 2003.–640 с.;

10. Малугин В.А. Математика для экономистов: математический анализ. Задачи и упражнения.– М.: Эксмо, 2006. – 288 с.;

11. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах функции одной переменной. – М.: Наука, 1973.– 375 с.;

12. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных/ Под ред. В. Ф. Бутузова. – М.: Высш. шк., 1988. – 288 с.;

13. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ.– М.: Вербум, 2001. – 416 с.;

14. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1,2. М.: Наука, 1985.;

15. Практикум по высшей математике для экономистов./Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2005. – 479 с.;

16. Практикум по курсу математического анализа. Ч. 3. Интегральное исчисление для функций одной переменной / Н. Г. Ованесов, С.А. Казаров, Р. Л. Шапиро, Н. В. Трубицын. – Астрахань: Изд-во АГПИ, 1993. – 42 с.;

17. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. Т.1, 2. М.: Наука,1981.;

18. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. В 2-ч ч. Ч.2. – М.: Финансы и статистика, 2003.– 560с.;

19. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1966. – 606 с.;

20. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 304 с.;

21. Шипачев В.С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2001. – 176 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: