Сделай Сам Свою Работу на 5

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ





СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ. 6

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ. 8

I. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.. 9

1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла. 9

1.1. Первообразная. 9

1.2. Неопределённый интеграл, его основные свойства. 9

2. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. 11

2.1. Непосредственное интегрирование. 11

2.2. Метод подстановки. 12

2.3. Метод интегрирования по частям. 12

Примеры решения типовых задач. 13

Задания для самостоятельной работы.. 15

3. Интегрирование рациональных функций. 16

Примеры решения типовых задач. 17

Задания для самостоятельной работы.. 19

4. Интегрирование некоторых тригонометрических и иррациональных функций 20

4.1. Интегрирование тригонометрических функций. 20

4.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 21

Примеры решения типовых задач. 22

Задания для самостоятельной работы.. 24

5. Определение определённого интеграла, его геометрический смысл. Свойства определённого интеграла. 25

5.1. Определение определённого интеграла, его геометрический смысл. 25



5.2. Свойства определённого интеграла. 26

Примеры решения типовых задач. 29

Задания для самостоятельной работы.. 30

6. Несобственные интегралы. 30

Примеры решения типовых задач. 32

Задания для самостоятельной работы.. 34

7. Приложения определённого интеграла. 34

7.1. Площадь криволинейной трапеции. 34

7.1.1. Площадь криволинейной трапеции в декартовых
координатах. 35

7.1.2. Площадь криволинейной трапеции в случае параметрического задания граничной кривой. 36

7.2. Длина дуги кривой. 36

7.2.1. Длина дуги кривой в декартовых координатах. 36

7.2.2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями. 37

7.3. Площадь поверхности вращения. 37

7.3.1. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах. 37

7.3.2. Площадь поверхности вращения в случае параметрического задания кривой 37

7.4. Объём тел вращения. 37

Примеры решения типовых задач. 38

Задания для самостоятельной работы.. 41

8. Приложение определенного интеграла в экономике. 42

Примеры решения типовых задач. 44

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.. 46



9. Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных. 46

9.1. Понятие функции нескольких переменных. 46

9.2. Предел и непрерывность функции. 46

Примеры решения типовых задач. 47

Задания для самостоятельной работы.. 49

10. Частные производные. Полный дифференциал. 50

10.1. Частные производные. 50

10.2. Дифференциал функции. 50

10.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. 51

Примеры решения типовых задач. 52

Задания для самостоятельной работы.. 55

11. Дифференцирование сложных и неявных функций. 56

11.1. Дифференцирование сложных функций. 56

11.2. Дифференцирование неявных функций. 57

Примеры решения типовых задач. 57

Задания для самостоятельной работы.. 59

12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная в данном направлении. Градиент функции. 60

12.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 60

12.2. Производная в данном направлении. Градиент функции. 60

Примеры решения типовых задач. 61

Задания для самостоятельной работы.. 63

13. Экстремум функции двух переменных. Условный экстремум. 63

Наибольшее, наименьшее значения функции. 63

13.1. Экстремум функции двух переменных. Условный экстремум. 63

13.2. Наибольшее и наименьшее значения функции. 65

Примеры решения типовых задач. 65

Задания для самостоятельной работы.. 67

14. Подбор эмпирической формулы по методу наименьших квадратов. 68

14. Функции нескольких переменных в экономических задачах. 71

Примеры решения типовых задач. 71

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 75

ПРИЛОЖЕНИЕ. 77


ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Современная экономическая наука отличается широким систематическим использованием современных средств математики. Математические методы в единстве с экономическим анализом открывают новые возможности для экономической науки и практики. Сегодня специалисты в области экономики должны иметь фундаментальное математическое образование, владеть методами математического моделирования и анализа экономических процессов. Одной из базовых дисциплин в системе математического образования студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления, является «Математический анализ».



Настоящее учебно-методическое пособие представляет собой вторую часть сборника «Математический анализ для экономистов», планируемого к изданию в трех частях. Оно охватывает такие разделы математического анализа как «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». В первой и третьей частях сборника изучаются разделы «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Все разделы проиллюстрированы простейшими приложениями математики в экономике, рассчитанными на уровень подготовки студентов 1-2 курсов. Сборник составлен в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математического анализа для специалистов с высшим образованием по экономическим и управленческим специальностям.

Каждая часть сборника состоит из двух глав, включающих несколько параграфов. В начале каждого параграфа помещены основные определения, теоремы, формулы, краткие сведения из теории и методические рекомендации по решению задач. Далее приводятся подробные решения типовых задач с краткими пояснениями и задания для самостоятельной работы со сквозной нумерацией для каждой части. В конце каждой части содержатся итоговые контрольные работы (19 вариантов). Теоретический и практический материал снабжен наглядными иллюстрациями.

Сборник составлен на основе опыта проведения лекционных и практических занятий по дисциплине «Математический анализ» для студентов экономических и управленческих специальностей преподавателями кафедры математического анализа Астраханского государственного университета. Его отличительными особенностями являются профессионально-практическая направленность изложения математических понятий, обширные методические рекомендации и варианты решения типовых задач. Поэтому он особенно полезен студентам заочного отделения при самостоятельном изучении дисциплины «Математический анализ» и выполнении контрольных работ, а также тем, кто самостоятельно намерен восполнить пробелы в своём математическом образовании.

Для краткости записи формулировок определений и теорем авторы используют логические символы и Символ называется квантором существования (читается как «существует»), а символ квантором всеобщности (читается как «для любого», «для каждого»).

 


УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Каждую контрольную работу рекомендуется выполнять поэтапно, по мере изучения соответствующего теоретического материала.

Контрольная работа состоит из заданий.

При оформлении необходимо соблюдать следующие правила:

1) Работа выполняется чернилами в тетради или на листах формата А4 на компьютере в порядке номеров, с соблюдением полей для замечаний проверяющего, с подробными пояснениями к решениям.

2) При формулировке условия задачи указываются конкретные данные своего варианта (вариант определяется как сумма двух последних цифр номера зачетной книжки); в каждом из заданий следует решать примеры с номером своего варианта.

3) При получении проверенной работы студент должен исправить все отмеченные в ней ошибки и недочеты (даже в том случае, если работа зачтена). Если работа не зачтена, то все задачи, указанные проверяющим, должны быть решены заново. Исправленная работа (вместе с «оригиналом») должна быть сдана на проверку в кратчайшие сроки (указанные методистом). Все работы предъявляются на экзамене.

Таблицы для определения заданий, которые необходимо выполнить приводятся в приложении.


I. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ

 

1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные свойства
неопределённого интеграла

 

1.1. Первообразная

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции найти такую функцию , что .

Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Функция называется первообразнойдля функциина некотором промежутке , если она дифференцируема на этом промежутке и для всех выполняется равенство .

Например, первообразной функции является функция , так как . Аналогично для функции первообразной является т.к.

.

Задача отыскания по данной функции её первообразной решается неоднозначно.

Например, То есть, первообразными будут любые функции , где – постоянная.

Теорема 1.1. Если первообразная для функции на некотором промежутке , то любая другая первообразная для на том же промежутке может представлена в виде , где – произвольная постоянная.

Доказательство. Пусть – любая другая первообразная для функции на некотором промежутке Х, т.е. .

Рассмотрим где .

 

1.2. Неопределённый интеграл, его основные свойства.

 

Если функция первообразная для функции на промежутке , то множество функций , где – произвольная постоянная называется неопределённым интегралом от функции на .

Иначе говоря, неопределённый интеграл от функции – это совокупность всех первообразных .

Обозначение:

, (1.1)

где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Восстановление функции по её производной, или, что то же самое, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Например, т.к. . Аналогично т.к. .

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства:

1.Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

Действительно, ;

2.Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. .

3.Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если , то .

Действительно, пусть – первообразная , тогда – первообразная для

.

4.Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Действительно, пусть – первообразные для функций, , тогда функция – первообразная для функции

 

2. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Метод
интегрирования по частям.

 

2.1. Непосредственное интегрирование

 

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов называется непосредственным интегрированием. То есть непосредственное интегрирование – это сведение данного интеграла к табличному путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла. Ниже приведена таблица интегралов от основных элементарных функций.

Таблица основных интегралов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12) .

 

2.2. Метод подстановки

 

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой подход называется методом подстановки или методом замены переменной.

Теорема 1.2.Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке и пусть – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула

. (2.1)

Формула (2.1) – формула замены переменной в неопределённом интеграле.

 

2.3. Метод интегрирования по частям

 

Теорема 1.3. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке функция также имеет первообразную и справедлива формула

. (2.2)

Формула (2.2) – формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Т.к. , то формулу (2.2) можно переписать в виде

Применять формулу (2.2) целесообразно, когда интеграл в правой части более прост для нахождения, нежели исходный. Рассмотрим два класса функций , которые целесообразно интегрировать по частям, и укажем, что в этих случаях при представлении подынтегрального выражения в виде произведения следует принять за , а что за . Ниже через обозначен многочлен.

I.

II.

.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.