Примеры решения типовых задач
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:
; ;
; ; .
Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения стационарных точек:
Решая систему, находим две стационарные точки , .
Вычисляем значения частных производных второго порядка в этих точках:
, , , , , .
Затем находим определители:
В силу достаточных условий заключаем, что в точке нет экстремума, так как , а в точке функция имеет максимум, так как и , причем .
Пример 2. Найти экстремум функции при условии .
Решение. Из условия выразим и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому
Мы получили функцию одного переменного. Функция определена при всех . Приравнивая к нулю производную, получаем: Для найденных значений найдем соответствующие им значения : при ; при . при точка будет точкой минимума исходной функции , а точка – точкой максимума, т.к. при .
Соответственно, ,
Пример 3.Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением
Решение. Рассмотрим функцию Лагранжа Имеем Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)
находим . Нетрудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями .
Решение. Находим стационарные точки:
.
– стационарная точка, .
Исследуем данную функцию на границе области, которая представляет собой треугольник (рис.23).
На прямой : и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на , следовательно – точка min, в которой .
На концах отрезка : .
Аналогично, на прямой :
– точка min, в которой . В точке : .
На прямой , которая задается равенством , имеем, исключив из в соответствии с уравнением , в которой . На концах значения функции уже найдены.
Сравнивая все полученные значения функции , заключаем, что – наибольшее значение функции и достигается в точках ; – наименьшее, в стационарной точке .
Задания для самостоятельной работы
22. Исследовать на экстремум следующие функции:
а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) ;
| д) ;
| е) ;
| ж) ;
| з) ;
| и) ;
| к) .
|
23. Исследовать на условный экстремум следующие функции:
а) , при ;
| б) , при ;
| в) , при ;
| г) , при ;
| д) , при ;
| е) , при ;
| ж) , при ;
| з) , при ;
| и) , при ;
| к) , при .
|
24. Найти наибольшие и наименьшие значения функций, заданных в замкнутой области :
а) , ;
| б) , ;
| в) , ;
| г) , ;
| д) , ;
| е) , ;
| ж) , ;
| з) , ;
| и) , ;
| к) , .
|
14. Подбор эмпирической формулы по методу наименьших квадратов
Пусть существует некоторая зависимость между переменными величинами и , представленная таблично:
Требуется найти по данным наблюдений аналитическое выражение от или от . Т. е. эмпирическую формулу или . При нахождении этой формулы не требуется, чтобы значения совпадали с .
Это осуществляется в два этапа.
1. Выяснение общего вида формулы.
2. Определение параметров формулы.
Для определения общего вида формулы в декартовой системе координат отмечаются точки . И определяют, вдоль какой линии они располагаются. Зависимость может быть линейной (вдоль прямой), квадратичной (вдоль параболы), гиперболической, логарифмической, показательной.
Для определения параметров формулы удобно пользоваться методом наименьших квадратов.
Сущность этого метода заключается в том, что сумма квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических была минимальной:
.
1. Пусть зависимость между переменными предполагается линейной: .
Тогда . Найдём минимум этой функции. Для этого решим систему уравнений:
.
Упрощая систему получим:
(1).
Система (1) называется нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой. Решая систему (1) найдём параметры и .
2. Пусть зависимость между переменными предполагается
квадратической: .
Тогда .
Найдём минимум функции. Для этого решим систему уравнений:
или (2).
Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по параболе. Решая систему (2) найдём параметры , и .
Рассмотрим на примере. Дана зависимость переменных.
| -1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3,5
|
| 4,5
|
Требуется подобрать зависимость от .
Зависимость между и будет линейной. Найдем значения параметров и из системы (1). Для удобства расчетов строим таблицу:
Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек (координат) из суммы столбцов при , , , составляются коэффициенты системы (1) для определения параметров и прямой . Система имеет вид:
Решая систему, получим, и , а уравнение прямой имеет вид: .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|