Сделай Сам Свою Работу на 5

Теоремы сложения и умножения вероятностей





Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероят­ность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких по­парно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме веро­ятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероят­ность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P (A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Теорема может быть обобщена на любое конечное число сов­местных событий. Например, для трех совместных событий.

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

Теорема умножения вероятностей.Вероятность совместного по­явления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

В частности, для независимых событий

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.



Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последую­щего события вычисляют в предложении, что все предыдущие собы­тия уже наступили:

где вероятность события Ап, вычисленная в пред­положении, что события , , ...., наступили.

В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероят­ностей этих событий:

33. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в пере­плете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие A).

Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трех взятых учебников в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, С – два учебника в переплете, D – три учеб­ника в переплете.



Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А=B+C+D. По теореме сложения,

P(A) = P(B) + P(C) + P(D).

Найдем вероятности событий В, С и D (см. решение задачи 17, гл 1, § 1):

, ,

Подставив эти вероятности в равенство (*). окончательно получим

P(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67,91

Второй способ. События А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и Ā (ни один из взятых учебников не имеет переплета) — противоположные, поэтому Р(А) + Р(Ā) = 1 (сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице). Отсюда Р (А) = 1– Р (Ā).

Вероятность появления события Ā (ни один из взятых учебников не имеет переплета)

Р(Ā) =

Искомая вероятность

Р (А) = 1– Р(Ā) = 1– 24.91= 67/91.

34. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

35. Доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то Р(В) ≥ Р(А).

Решение. Событие В можно представить в виде суммы несов­местных событий А и ĀВ:

В =А + ĀВ.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий по­лучим

Р(В) = Р(А + ĀВ) = Р(А) + Р(ĀВ).

Так как Р(ĀВ) ≥ 0, то Р(В) ≥ Р(А).

36. Вероятности появления каждого из двух незави­симых событий и соответственно равны р1 и р2. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение. Введем обозначения событий: B1—появилось только событие А1;B2 – появилось только событие A2.

Появление события B1 равносильно появлению события A1Ā2 (появилось первое событие и не появилось второе), т. е. В1 = А1Ā2 .Появление события Вг равносильно появлению события Ā1А2 (по­явилось второе событие и не появилось первое), т. е. В2 = Ā1А2.



Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий и достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий B1 и B2 . События B1 и B2 несовместны, поэтому применима теорема сложения:

Р(В1+B2) = Р(В1) + Р(B2).

Остается найти вероятности каждого из событий В1 и B2. События и независимы, следовательно, независимы события А1 и Ā2, а также Ā1 и А2., поэтому применима теорема умножения:

Р(В1) = Р(А1 Ā2,) + Р(А1)∙А(Ā2,)=р1q2 ;

Р(В2) = Р(Ā1А2,) + Р(Ā1)∙P(Ā2,)= q1 р2;

Подставив эти вероятности в соотношение (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий и :

Р(В1+B2) = р1q2 + q1 р2

37. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти веро­ятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

37. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго — 0,8. Найти вероят­ность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

38. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

39. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стан­дартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

40. Вероятность того, что при одном измерении неко­торой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

41. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти веро­ятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.