Реальная катушка в цепи переменного синусоидального тока

Включим катушку в цепь переменного синусоидального тока. Ге­нератор принимаем идеальным, сопротивлением соединительных проводов пренебрегаем. В катушке наблюдаются следующие физические процессы:

– под действием синусоидальной э.д.с. источника в катушке протекает ток i;

– наблюдается тепловое действие тока и катушка нагревается;

– переменный синусоидальный ток создает переменное магнитное поле, кото­рое пронизывает эту же катушку – наблюдается явление электромаг­нитной индукции (самоиндукции) и в катушке наводится э.д.с. самоин­дукции e_L.

Составим расчётную схему катушки (рис.3.19).

Запишем уравнение электрического равновесия для этой цепи:

(3.63)   (3.64)

Зададимся током в цепи

(3.65)

и найдём, каким должно быть в этом случае приложенное напряжение u, для чего подставим значение тока в (3.64):

.

(3.66)

Обозначим согласно (3.24) и (3.40)

(3.67) (3.68)

и перепишем уравнение (3.66) в следующем виде:

.

(3.69)

Запишем мгновенное приложенное напряжение в общем виде:

.

(3.70)

Построим векторную диаграмму тока и напряжения этой цепи (рис.3.20).

Таким образом, y_u = y_i + j и мгновенное напряжение на зажимах цепи запи­сывается так:

,

(3.71)

а так как в данном случае y_i= 0, то y_u = j .

Рассмотрим треугольник напряжений на векторной диаграмме (рис.3.21).

Запишем выражения сторон треугольника:

, , ,

(3.72) (3.73) (3.74)

где r – активное сопротивление катушки, Ом;

x_L – реактивное сопротивление катушки, Ом;

– полное сопротивление ка­тушки

(вводим такое понятие по аналогии с r и х_L), Ом.

Разделим стороны треугольника напряжений на I_m и получим треугольник
сопротивлений (рис.3.22).

Как видно из рисунка, полное сопротивление цепи катушки переменному току

.

(3.75)

Угол сдвига фаз в катушке может быть найден через параметры катушки
(r, x_L, ), например:

.

(3.76)

Умножим стороны треугольника сопротивлений на квадрат действующего
значения тока и получим треугольник мощностей (рис.3.23).

Стороны треугольника представляют собой мощности:

активную P = rI2, Вт;	(3.76)
реактивную QL = xLI2, вар;	(3.77)
полную S = I2, ва.	(3.78)

Введём понятие коэффициента мощности, под которым будем понимать
от­ношение активной мощности к полной .

Как видно из треугольника мощностей, коэффициент мощности численно ра­вен косинусу угла сдвига фаз, т.е.

.

(3.79)

Таким образом, реальную катушку можно рассматривать одновременно как
резистор – с одной стороны и как идеальную катушку – с другой. Все процессы можно описать с помощью двух идеальных элементов – активного сопротивления и индуктивности, описанные в п.3.2 и 3.3.

Пример 3.9

К реальной катушке подведено напряжение u = 282 sin (wt +70°) В.

Активное сопротивление катушки равно 3 Ом.

Реактивное сопротивление катушки равно 4 Ом.

Выполнить анализ цепи.

Решение.

1. Определяем полное сопротивление цепи по (3.75):

.

2. Определяем амплитуду тока по (3.74):

.

3. Определяем угол сдвига фаз цепи по (3.76):

.

4. Определяем начальную фазу тока:

y_i = y_u – j = 70 – 53 = 17°.

5. Записываем мгновенный ток:

i = 56,4 sin (wt +17°) А.

6. Определяем амплитуду напряжения на активном сопротивлении по (3.72):

U_rm = 3×56,4 = 169,2 В.

7. Определяем начальную фазу напряжения на активном сопротивлении:

y_ur = y_i= 17°.

8. Записываем мгновенное напряжение на активном сопротивлении:

u_r = 169,2 sin (wt +17°) В.

9. Определяем амплитуду напряжения на индуктивном сопротивлении по (3.73):

U_Lm = 4×56,4 = 225,6 В.

10. Определяем начальную фазу напряжения на индуктивном сопротивлении:

y_uL = y_i+ 90 = 17 + 90 = 107°.

11. Записываем мгновенное напряжение на индуктивном сопротивлении:

u_L = 225,6 sin (wt +107°) В.

12. Определяем действующее значение тока по (3.14):

.

13. Определяем активную мощность по (3.76):

Р = 3×40² = 4800 Вт = 4,8 кВт.

14. Определяем реактивную мощность по (3.77):

Q_L = 4×40² = 6400 вар = 6,4 квар.

15. Определяем полную мощность по (3.78):

S = 5×40² = 8000 ва = 8,0 ква.

16. Определяем коэффициент мощности катушки по (3.79):

.

Вопросы для самоконтроля

1. Опишите физические явления, наблюдаемые в реальной катушке
в цепи переменного сину­соидального тока.

2. Составьте расчётную схему цепи с идеальным генератором и реальной катушкой.

3. Составьте уравнение электрического равновесия цепи синусоидального тока
с реальной катушкой.

4. Запишите выражение мгновенного тока в цепи, приняв начальную фазу равной нулю.

5. Получите выражение мгновенного напряжения на зажимах цепи, подставив
в уравнение электрического равновесия выражение мгновенного тока в цепи.

6. Постройте векторную диаграмму тока и напряжений цепи
(для действующих значений).

7. Запишите выражение мгновенного напряжения на зажимах цепи,
используя векторную диаграмму, с учётом угла сдвига фаз.

8. Получите из векторной диаграммы и постройте треугольник
действующих значений напряжений катушки.

9. Преобразуйте треугольник напряжений в треугольник сопротивлений,
используя закон Ома.

10. Установите связь между параметрами реальной катушки,
используя треугольник сопротивлений.

11. Как рассчитать угол сдвига фаз реальной катушки с помощью её параметров?

12. Получите из треугольника сопротивлений треугольник мощностей и постройте его.

13. Установите связь между мощностями реальной катушки,
используя треугольник мощностей.

14. Дайте определение коэффициента мощности реальной катушки.

15. Запишите и расшифруйте определяющую формулу коэффициента мощности
реальной катушки.

Задания для самоконтроля

Катушка с параметрами r = 3 Ом и L = 12,7 мГн подключена
к источнику си­нусоидального напряжения u = 282(wt + 70°) В.
Частота тока в цепи f = 50 Гц.

1. Найти индуктивное сопротивление катушки.

2. Найти полное сопротивление катушки.

3. Найти угол сдвига фаз катушки.

4. Найти амплитуду тока в катушке.

5. Записать мгновенное значение тока в катушке.

6. Найти амплитуду напряжения на активном сопротивлении

7. Записать мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении.

8. Найти амплитуду напряжения на индуктивности.

9. Записать мгновенное значение напряжения на индуктивности.

10. Постро­ить векторную диаграмму напряжений и тока цепи.

11. Найти активную мощность катушки.

12. Найти реактивную мощность катушки.

13. Найти полную мощность катушки.

14. Найти коэффициент мощности катушки.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: