Вероятность как нормированная мера

Определение. Пара , в которой - некоторое множество, а
- -алгебра его подмножеств называется измеримым пространством.

Определение. Пусть - некоторое множество, - -алгебра его подмножеств. Функция называется мерой на измеримом пространстве , если она удовлетворяет условиям:

М1) Для любого множества его мера неотрицательна: .

М2) Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств (то есть такого, что ) мера их объединения равна сумме их мер: (счетная аддитивность или -аддитивность).

Другими словами, мера есть неотрицательная счетно-аддитивная функция множеств.

Определение. Пусть - некоторое множество и - -алгебра его подмножеств. Мера называется нормированной, если .

Определение. Пусть - произвольное пространство элементарных событий и - -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на называется функция , удовлетворяющая следующим аксиомам:

Р1). Аксиома неотрицательности:

Для любого события выполняется неравенство: ;

Р2). Аксиома нормированности:

Вероятность достоверного события равна единице: .

Р3). Аксиома счетной аддитивности:

Для любой счетного набора попарно несовместных событий имеет место равенство:

Определение. Тройка , в которой - пространство элементарных событий, - -алгебра событий и - вероятностная мера на называется вероятностным пространством.

Вероятностное пространство является математической моделью любых случайных явлений, изучаемых в теории вероятностей.

Проверка аксиомы счетной аддитивности Р3) на практике бывает весьма затруднительной. Для этого полезным оказывается следующее утверждение.

Теорема (доказательство см. Б.В. Гнеденко, Курс теории вероятностей).

Аксиома счетной аддитивности Р3) эквивалентна выполнению следующих двух аксиом Р3^*) и Р4):

Р3^*). Аксиома конечной аддитивности:

Для любого конечного набора событий , являющихся попарно несовместными , имеет место равенство:

Р4). Аксиома непрерывности:

Если события обладают свойствами:

1) ;

2) ,

(при этом говорят, что события образуют убывающую последовательность), то

Из аксиоматического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности (здесь и везде в дальнейшем под знаком вероятности появляются только события!).

1°. .

2°. .

3°. .

4°. .

(Свойства 1 – 4 были доказаны при рассмотрении классического определения вероятности сразу в общем случае).

5°. Теорема сложения вероятностей.

Для любых событий (не обязательно несовместных)

▲ Представим событие В в виде:

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности Р3)

. (1)

Представим событие в виде:

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме Р3)

. (2)

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

. ■

Задача. Доказать, что для любых трех событий А, В и С

Доказать общую формулу:

6°. Если события образуют полную группу событий, то

▲ Свойство следует из определения полной группы событий и аксиом Р2) и Р3). ■

7°. .

▲ Представим событие А в виде:

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности Р3)

. ■

Покажем теперь, как на основе аксиоматического определения вероятности конструктивно можно задать вероятность для некоторых часто встречающихся на практике пространств элементарных событий, содержащих бесконечное число исходов.

Пусть пространство элементарных событий содержит счетное число исходов . В качестве -алгебры событий рассмотрим множество всех подмножеств . В этом случае любую вероятностную меру можно получить, задав вероятности исходов , причем последовательность должна удовлетворять только условиям неотрицательности

и нормированности

(в этом и состоит основная идея аксиоматического определения вероятности).

Тогда, если вероятность любого события А определить как

то она будет удовлетворять аксиомам Р1), Р2), Р3).

В частности, если пространство элементарных событий конечно , а (исходы равновозможны), то

и мы приходим к классическому определению вероятности.

Предположим теперь, что пространство элементарных событий , что соответствует эксперименту, состоящему в бросании наудачу точки на числовую прямую. В этом случае -алгебра событий должна содержать всевозможные открытые интервалы вида , поскольку попадание точки в такие интервалы являются реальными событиями. В принципе существуют различные -алгебры, удовлетворяющие этому требованию. Но среди них есть одна -алгебра, элементы которой принадлежат всем остальным. Она является пересечением всех этих -алгебр и называется минимальной. Минимальная -алгебра, содержащая множество всех интервалов на числовой прямой, называется борелевской -алгеброй или -алгеброй борелевских множеств на числовой прямой и обозначается .

Борелевская -алгебра является достаточно богатой и содержит множества, перекрывающие любые потребности практики:

- все открытые интервалы принадлежат по определению;

- любые интервалы вида также принадлежат , поскольку, например, , а все интервалы под знаком произведения принадлежат ;

- любые одноточечные множества принадлежат , поскольку ;

- любые множества вида , (включая результат выполнения счетного числа операций над ними), множество натуральных чисел , рациональных чисел , иррациональных чисел , также принадлежат .

Чтобы получить множество, не принадлежащее , требуются специальные построения.

Замечание. Борелевская -алгебра в строится совершенно так же, как в . является минимальной -алгеброй, содержащей все множества вида (уже не интервалы, как в , а прямоугольники в , параллелепипеды в и т.д.).

Для задания вероятностной меры на измеримом пространстве можно взять произвольную неубывающую для любого непрерывную слева функцию , удовлетворяющую условиям:

, ,

и каждому событию поставить в соответствие вероятность

а событию - вероятность

Определенная таким образом для всех событий функция будет удовлетворять аксиомам Р1), Р2), Р3). Для других событий из вероятность определяется единственным образом с помощью теоремы о продолжении меры (теорема Каратеодори, см. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы функционального анализа или А.А. Боровков, Теория вероятностей).

Меру , построенную по функции , называют вероятностной мерой Лебега-Стилтьеса, отвечающей функции .

Из той же теоремы о продолжении меры следует, что на измеримом пространстве существует единственная мера , значение которой на любом интервале равно его длине:

Эта мера называется мерой Лебега.

Отсюда вытекает, что для любого множества определена его длина (мера Лебега), так как А представимо в виде счетного числа операций над интервалами. Другими словами, любое борелевское множество на числовой прямой является измеримым.

Рассмотрим теперь случай, когда пространство элементарных событий есть некоторое борелевское множество на числовой прямой, имеющее конечную меру Лебега , что соответствует эксперименту, состоящему в бросании наудачу точки в множество . Обозначим - -алгебру борелевских множеств множества . Тогда, если вероятность любого события определить как

то она будет удовлетворять аксиомам Р1), Р2), Р3) и мы приходим к геометрическому определению вероятности.

Если же множество , то оно может не иметь длины (является неизмеримым) и вычислить вероятность попадания точки в данное множество в соответствии с геометрическим определением вероятности невозможно.

Приведем пример множества на отрезке, мера Лебега которого не существует.

Пример (множество Витали).

Рассмотрим окружность единичного радиуса (реально это тот же отрезок ). Возьмем любое иррациональное число . Поскольку оно иррационально, число не является целым ни при каком целом (то есть число равно лишь при ).

Поэтому, если взять произвольную точку , то есть точку на окружности, и перечислить все точки, которые получаются поворотом точки на угол , то мы ни разу не вернемся в точку . Точек, получившихся из точки такими поворотами, счетное число. Объединим их в один класс. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из нее поворотом на угол при каком-то .

Таким образом, вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счетное число точек, и все точки получаются друг из друга такими поворотами. Причем эти классы не пересекаются.

Множество определим так: возьмем из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть множество получается поворотом всех точек множества на угол .

Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любую из них на угол , а в множестве собрано по одной точке из каждого класса, то поворачивая это множество, получим все точки окружности.

Очевидно, что . Предположим, что мера Лебега (длина) множества существует. Заметим, что тогда все множества имеют ту же меру Лебега, так как получены из поворотом. И так как все эти множества не пересекаются, то мера их объединения равна сумме их мер:

Полученное противоречие означает, что мера Лебега, или длина множества не существует.

Условные вероятности

На практике случайные события обычно взаимосвязаны. Информация о наступлении одного из событий может влиять на шансы наступления другого. Пусть - конечное пространство равновозможных исходов, А и В – некоторые события. Если о событии В ничего неизвестно, то согласно классическому определению вероятности:

Если же известно, что событие В уже произошло (т. е. наступил исход , но какой именно – неизвестно), то для определения вероятности события А следует выбрать новое пространство элементарных событий .

В этом случае событию А благоприятствуют исходы и новая вероятность, которую обозначим , равна:

Полученная вероятность называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и полученное для нее выражение в рамках классической схемы принимается за определение условной вероятности и в общем случае.

Определение. Пусть - произвольное вероятностное пространство, - некоторые случайные события, . Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется величина

Для условной вероятности применяется также обозначение .

Условная вероятность , как функция события А при фиксированном событии В (условии), удовлетворяет аксиомам Р1) – Р3) и, следовательно, всем свойствам вероятности, вытекающим из аксиом: