Свойства операций над событиями

Приступим теперь к введению понятия вероятности. Делать мы это будем постепенно, как бы повторяя исторический путь. Такой подход позволяет избежать формального восприятия и способствует развитию теоретико-вероятностной интуиции. Начнем с, так называемого, классического определения вероятности.

Классическое определение вероятности

На самом деле это не определение, а метод вычисления вероятностей событий во вполне определенных и сильно ограниченных условиях.

Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если:

· пространство элементарных событий состоит из конечного числа исходов

;

· из соображений симметрии можно считать, что все элементарные исходы эксперимента являются равновозможными (т. е. ни один из исходов не имеет предпочтения перед другими).

Согласно классическому определению вероятности вероятность любого события , равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу исходов :

Свойства вероятности, непосредственно вытекающие из классического определения вероятности:

1°. для любого события А (доказательство очевидно).

2°. (доказательство очевидно).

3°. Если события и несовместны , то

.

▲ Пусть событию А благоприятствует исходов, а событию В - исходов. Поскольку события А и В являются несовместными (т.е. не имеют общих исходов), то сумме благоприятствует исходов. Поэтому

.■

Исходя из свойств 1° - 3° (и только!!!) вытекают также следующие свойства вероятности:

4°. .

▲ Поскольку события образуют полную группу событий ( ), то из свойств 2° и 3° .■

5°. .

▲ Следует из свойств 2° и 4°, поскольку события .■

6°. .

▲ Представим событие В в виде: . Поскольку события являются несовместными, то из свойств 1° и 3° имеем: .■

7°. .

▲ Следует из свойств 2°, 5° и 6°, так как (в частности, свойство 7° означает, что измерять вероятность в процентах некорректно).■

При решении задач с использованием классического определения вероятности, широко используются понятия комбинаторики. Напомним некоторые из них.

Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно .

Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно .

Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно .

Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно .

Пример 1.

Определить вероятность события А, заключающегося в том, что при бросании двух игральных костей, сумма очков не превысит 4.

Решение. В данном примере важно понимать, что если в качестве исхода эксперимента понимать значение суммы выпавших очков: или количество очков, выпавших на каждой из костей без учета порядка их следования: , то исходы не являются равновозможными и классическое определение вероятности не применимо. Верное решение в соответствии с классическим определением вероятности можно получить, если только под исходом понимать количество очков, выпавших на каждой из костей с учетом порядка их следования: . В этом случае , а . Поэтому .

Пример 2 (Урновая схема).

В урне находится N шаров, из которых M - белые. Из урны наугад извлекается n шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется ровно m белых.

Решение. Исходами в данном эксперименте являются любые подмножества, содержащие n шаров, и они являются равновозможными (за счет слова «наугад»). Число всех исходов равно числу сочетаний из n по N: . Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие, состоит из m белых шаров, которые можно выбрать из M белых способами. Независимо от выбора белых шаров, небелые шары можно выбрать способами. Поэтому общее число благоприятных исходов равно . Из этого следует, что _.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: