Тема «Имитационные стохастические модели»

Имитационное моделирование может стать существенной частью профильного курса информатики, ориентированного на моделирование. Включение метода имитационного компьютерного моделирования в профильный курс, ориентированный на моделирование, работа учащихся с имитационными моделями средней сложности представляют несомненный интерес и пользу, поскольку расширяют и обобщают представление о методе моделирования и его возможностях.

Идея имитационного моделирования интуитивно ясна и привлекательна. В основе этого метода — теория вычислительных систем, статистика, теория вероятностей.

Начало изучения темы — лекция об имитационном моделировании случайных процессов. К сожалению, в российской школе понятия теории вероятностей и математической статистики лишь начинают внедряться в курс математики, и учителю следует быть готовым к тому, чтобы самому сделать введение в этот важнейший для формирования мировоззрения и математической культуры материал. Приведем план соответствующей вводной лекции.

1. «Случайность» как фундаментальное математическое понятие. Случайные события и их вероятности.

2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины (плотность вероятности).

3. Примеры типичных функций распределения. Равновероятное распределение. Нормальное распределение и представление об его особой значимости в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей.

4. Метод статистических испытаний в моделировании случайных процессов. Представление о статистической обработке результатов, получаемых при использовании метода статистических испытаний. Понятия «доверительный интервал», «доверительная вероятность». Вычисление средних значений испытуемых величин и оценка их достоверности.

5. Описание принципов имитационного моделирования. Отметим ключевые моменты, которые следует донести до учащихся. Имитацию целесообразно использовать:

• если она позволяет экспериментально исследовать сложные внутренние взаимодействия в рассматриваемой системе;

• при изучении воздействия на функционирование системы некоторых информационных и организационных изменений, а также изменений во внешней обстановке; для этого в модель системы вносят изменения и наблюдают влияние этих изменений на изменение системы;

• при детальном наблюдение имитируемой системы, что позволяет лучше понять систему и разработать такие предложения по ее имитации, которые были бы невозможны без имитации;

• если имитация сложных систем может дать представление о том, какие из переменных системы наиболее существенны и как эти переменные взаимодействуют.

Подчеркнем, что речь идет об элементарном введении в круг обсуждаемых понятий. В принципе сделать это можно не более, чем за два-три урока.

После этого обсуждаем технические вопросы, связанные с генерацией на ЭВМ последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения. Опираться при этом можно на простой факт: в каждом языке программирования есть датчик равномерно распределенных случайных чисел на отрезке от 0 до 1. На данном этапе нецелесообразно вдаваться в сложный вопрос о принципах его реализации. Опираясь на эти датчики, показываем, как можно устроить:

а) генератор равномерно распределенных случайных чисел на любом отрезке [а, b];

б) генератор случайных чисел под практически любой закон распределения (например, используя интуитивно ясный метод «отбора — отказа»).

Одним из вариантов отработки навыков имитационного стохастического моделирования является рассмотрение задачи моделирования очереди в системе массового обслуживания. Указанные системы элементарны для понимания постановки задач, имеют широкое прикладное значение.

Начать рассмотрение этой задачи целесообразно с обсуждения истории решения проблем массового обслуживания (задача Эр-ланга об обслуживании запросов на телефонной станции). Затем следует обзор типичных задач этой науки. Следует сказать о постановке задач в аналитической форме и о трудностях их решения, о том, что имитационное компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), хоть и не является в теории массового обслуживания основным, но играет в ней важную роль. Основная линия в ней — получение аналитических результатов, т. е. представленных формулами. Однако возможности аналитических методов весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и весьма прост для понимания (по крайней мере, кажется таковым).

Затем следует рассмотреть простейшую задачу, которую можно сформулировать на примере формирования и обслуживания очереди в магазине с одним продавцом. В этот магазин случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, то он начинает обслуживать покупателя сразу, иначе покупатель становится в очередь. Детали постановки и решения этой задачи методом статистического моделирования можно найти в книгах [9, 33]. Отметим, что на первом этапе моделирования распределения случайных величин на входе можно принять равновероятными, что хоть и не реалистично, но снимает ряд трудностей (для генерации случайных чисел можно просто использовать встроенный в язык программирования датчик).

Обратите внимание учащихся на то, какие вопросы ставятся в первую очередь при моделировании систем такого вида? Во-первых, это вычисление средних значений (математических ожиданий) некоторых случайных величин. Например, какое среднее время приходится стоять в очереди к прилавку? Или найти среднее время, проведенное продавцом в ожидании покупателя.

Задача учителя, в частности, состоит в том, чтобы разъяснить, что выборочные средние величины сами по себе — случайные величины; в другой выборке того же объема они будут иметь другие значения (при больших объемах выборки — не слишком отличающиеся друг от друга). Далее возможны варианты, например, в более подготовленной аудитории можно показать способ оценивания доверительных интервалов, в которых находятся математические ожидания соответствующих случайных величин при заданных доверительных вероятностях (известных из математической статистики методами без попытки обоснования). В менее подготовленной аудитории можно ограничиться чисто эмпирическим утверждением, к примеру, если в нескольких выборках равного объема средние значения совпали в некотором десятичном знаке, то этот знак, скорее всего, верен. Если при моделировании не удается достичь желаемой точности, следует увеличить объем выборки.

В наиболее подготовленной в математическом отношении аудитории можно ставить вопрос: каково распределение случайных величин, являющихся результатами статистического моделирования, при заданных распределениях случайных величин, являющихся его входными параметрами? Поскольку изложение соответствующей математической теории в данном случае невозможно, следует ограничиться эмпирическими приемами: построением гистограмм итоговых распределений и сравнением их с несколькими типичными функциями распределения.

После отработки первичных навыков указанного моделирования переходим к более реалистической модели, в которой входные потоки случайных событий распределены по Пуассону. Это потребует от учащихся дополнительно освоить метод генерирования последовательностей случайных чисел с указанным законом распределения.

В рассмотренной задаче, как и в любой более сложной задаче об очередях, может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если люди заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в любой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Моделирование приближения к критической ситуации по мере возрастания одного из параметров — интересная исследовательская задача.

На примере задачи об очереди отрабатываются сразу несколько новых понятий и навыков, таких как:

• понятие о случайных процессах;

• понятие и простейшие навыки имитационного моделирования;

• построение оптимизационных имитационных моделей;

• построение многокритериальных моделей (путем решения задач о наиболее рациональном обслуживании покупателей в сочетании с интересами владельца магазина).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: