Понятие касательной и нормали к кривой

Мы знаем аналитический и физический смысл производной:

аналитический смысл – это , физический – это скорость процесса, заданного функцией. Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. Касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку.

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет.

M₁Дадим общее определение касательной к

M₂кривой в данной точке.

М₃ Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой.

К При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки , занимая положения ,

Определение.Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательнойк кривой в точке

Определение. Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если – касательная к кривой в точке ,

то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке

Геометрический смысл производной

Пусть кривая является графиком функции . Точки

лежат на графике функции. Прямая - секущая кривой . – касательная к кривой .

- угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

Уравнение нормалик кривой в точке имеет вид

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках .

Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной .

Найдём производную функции: .

1) Найдём значение производной в точке

. Следовательно, .

2) Найдём значение производной в точке

. Следовательно, .

П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.

Решение. По формуле (1)

Найдём . .

1) Вычислим значение производной в точке : .

Следовательно, и .

2) Аналогично в точке .

Следовательно, и

П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох

под углом

Решение. По формуле (1)

; . Следовательно, и

Подставив в функцию , получим . Получили точку .

П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид .

Из условия задачи . Найдём производную .

; .

Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной

или .

Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой :

или

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение касательной к кривой.

2. Что называется нормалью к кривой?

3. В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.

4. Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.

5. Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой

в точке .

2. Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами .