ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

ПОНЯТИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем.

Физический смысл первой производной

Производная y функции – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём и временем при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение , то есть

П р и м е р 1. Точка движется прямолинейно по закону (s выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости с, получим

П р и м е р 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

(t) = 4t – 0,2t² (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение. а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле Тогда

Подставляя t = 6 с, получим .

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю . Поэтому . Отсюда

П р и м е р 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.

Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

Вычислим скорость тела в момент времени .

Определим кинетическую энергию тела в момент времени

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается Производную n-го порядка обозначают или

Примеры.

1) 2)

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение.

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент .

Решение. Найдём скорость точки в любой момент времени t.

Вычислим скорость в момент времени .

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

и , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени

Решение. Сила, действующая на тело, находится по формуле

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

Тогда .

Найдём ускорение: =

Тогда .

Вопросы для самопроверки

1. В чём заключается физический смысл первой производной?

2. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения? Запишите формулу.

3. Что называется производной второго порядка, третьего порядка, n-го порядка?

4. В чём заключается механический смысл производной?

5.Как найти ускорение прямолинейного неравномерного движения в данный момент времени? Запишите формулу.

Урок № 10

Т е м а. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Решите задачи.

1. Путь, пройденный материальной точкой, задаётся уравнением

. Найти скорость и ускорение точки в конце 5-й секунды.

2. Вычислить ускорение материальной точки в конце 3-й секунды, если точка движется по закону .

3. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент секунды.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найти её ускорение в конце 3-й секунды.

5. Путь, пройденный клетью подъёмной машины, определяется уравнением

. Найти скорость и ускорение в момент времени 5 с.

6. Определить момент , в который ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону , равно нулю. Какова при этом скорость?

7. Закон движения частицы определяется уравнением . Каково ускорение частицы в момент, когда её скорость равна 11 м/с?

8. Температура тела T изменяется в зависимости от времени t по закону

. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени ?

9. Количество электричества, протекающего через проводник, задаётся формулой . Найти силу тока в конце 4-й секунды.

10. Сила тока изменяется в зависимости от времени по закону (I – в амперах, t – в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.

11. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

12. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: В какой момент времени скорости их равны?

13. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?

14. Основание а параллелограмма изменяется по закону , а высота по закону Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).