График плотности распределения называется кривой распределения.
Свойства плотности распределения.
Если между двумя случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость Y=φ(Х), то взаимосвязь между плотностями распределения р(х) и р(у) задается формулой
Действительно, пусть с ростом Х растет Y. Тогда F(x)=F(y)=F(φ(x)) (см. свойства функции распределения). По правилу дифференцирования сложной функции находим
или, поскольку y = φ(x),
В случае, если с ростом Х величина Y убывает, первая производная dy/dx < 0, но плотность p(x) > 0. Поэтому в общем случае первая производная берется по абсолютной величине.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Из равенства функций распределения F(x) = F(lnx) требуется найти соотношение между плотностями p(x) и p(lnx).
Дифференцируя последнее равенство по x, имеем:
откуда xp(x) = p(lnx).
Числовые характеристики случайных величин: показатели положения и рассеяния.
Для возможно более полного и всестороннего описания случайных величин используют различные показатели. К ним относятся:
– характеристики положения – математическое ожидание, мода, медиана;
– характеристики вариации – дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;
– характеристики формы распределения – коэффициенты асимметрии и островершинности, которые выражаются через моменты.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х задается интегралом
.
Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины те же, что и дискретной случайной величины.
Мода – такое значение случайной величины, при котором плотность максимальна.
Медиана (Ме) случайной величины Х определяется соотношением
P(X<Me)=P(X>Me).
Она делит площадь под кривой распределения пополам.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х задается формулой
,
где
Коэффициент вариации
– выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения случайной величины Х к ее математическому ожиданию.
Центральные моменты r-го порядка (r = 2, 3, 4) задаются формулой
.
Заметим, что .
Коэффициент асимметрии (скошенность)
или .
Коэффициент островершинности (эксцесс)
или .
Ниже будут использоваться первые определения величин введенные К.Пирсоном.
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности
.
Математическое ожидание есть неслучайная (постоянная) величина.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х по ее закону распределения:
Решение. .
Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.
Решение. Случайная величина Х – число появлений события А в одном испытании – может принимать два значения: х1 =1 (событие наступило) с вероятностью р и х2 = 0 (событие не наступило) с вероятностью 1–р=q.
Следовательно,
,
т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
Приведем без доказательства основные свойства математического ожидания.
1. М(С)=С – математическое ожидание постоянной величины С равно значению самой постоянной.
2. М(СХ)=СМ(Х) – постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания.
3. М(ХY)=М(Х)М(Y) – для двух независимых случайных величин математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий.
4. М(Х+Y)=M(X)+M(Y) – для двух случайных величин (зависимых или независимых) математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность появления события в каждом испытании р, т.е.
М(Х)=nр.
Доказательство свойств математического ожидания см., например, в учебниках [3,4].
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|