Сделай Сам Свою Работу на 5

График плотности распределения называется кривой распределения.





Свойства плотности распределения.

Если между двумя случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость Y=φ(Х), то взаимосвязь между плотностями распределения р(х) и р(у) задается формулой

 

Действительно, пусть с ростом Х растет Y. Тогда F(x)=F(y)=F(φ(x)) (см. свойства функции распределения). По правилу дифференцирования сложной функции находим

 

или, поскольку y = φ(x),

 

В случае, если с ростом Х величина Y убывает, первая производная dy/dx < 0, но плотность p(x) > 0. Поэтому в общем случае первая производная берется по абсолютной величине.

Рассмотрим примеры.

 

Пример 1. Из равенства функций распределения F(x) = F(lnx) требуется найти соотношение между плотностями p(x) и p(lnx).

Дифференцируя последнее равенство по x, имеем:

 

откуда xp(x) = p(lnx).

Числовые характеристики случайных величин: показатели положения и рассеяния.

 

Для возможно более полного и всестороннего описания случайных величин используют различные показатели. К ним относятся:

– характеристики положения – математическое ожидание, мода, медиана;

– характеристики вариации – дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;



– характеристики формы распределения – коэффициенты асимметрии и островершинности, которые выражаются через моменты.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х задается интегралом

.

Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины те же, что и дискретной случайной величины.

Мода – такое значение случайной величины, при котором плотность максимальна.

Медиана (Ме) случайной величины Х определяется соотношением

P(X<Me)=P(X>Me).

Она делит площадь под кривой распределения пополам.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х задается формулой

,

где

Коэффициент вариации

– выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения случайной величины Х к ее математическому ожиданию.

Центральные моменты r-го порядка (r = 2, 3, 4) задаются формулой

.

Заметим, что .

Коэффициент асимметрии (скошенность)

или .

Коэффициент островершинности (эксцесс)

или .

Ниже будут использоваться первые определения величин введенные К.Пирсоном.



Числовые характеристики дискретной случайной величины

 

Математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности

.

Математическое ожидание есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х по ее закону распределения:

 

Х
р 0,1 0,6 0,3

Решение. .

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Решение. Случайная величина Х – число появлений события А в одном испытании – может принимать два значения: х1 =1 (событие наступило) с вероятностью р и х2 = 0 (событие не наступило) с вероятностью 1–р=q.

Следовательно,

,

т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

Приведем без доказательства основные свойства математического ожидания.

1. М(С)=С – математическое ожидание постоянной величины С равно значению самой постоянной.

2. М(СХ)=СМ(Х) – постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания.

3. М(ХY)=М(Х)М(Y) – для двух независимых случайных величин математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий.

4. М(Х+Y)=M(X)+M(Y) – для двух случайных величин (зависимых или независимых) математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.



Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность появления события в каждом испытании р, т.е.

М(Х)=nр.

Доказательство свойств математического ожидания см., например, в учебниках [3,4].

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.