Сделай Сам Свою Работу на 5

Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность.





Пусть требуется оценить качество изделий в некоторой партии объемом n. Для этого необходимо над каждым изделием провести наблюдение, т.е. осмотр, измерение, взвешивание и т.д. В теории вероятностей и математической статистике всем этим понятиям соответствует один термин – испытание.

В результате отдельного испытания изделие может быть признано либо годным, либо браком. Возможные исходы испытания в данном примере – это случайные события: А – годное изделие; В – брак. Эти события называются случайными, потому что заранее нельзя точно предсказать, какое из них наступит при следующем испытании.

Пусть после проверки всей партии изделий объемом n, т.е. после n испытаний, случайное событие А – число годных изделий – появилось nА раз. Это значит, что относительная частота случайного события А равна .

Если провести несколько серий испытаний (проверить несколько партий изделий), то относительные частоты в разных сериях будут группироваться около определенного числа, которое называется вероятностью случайного события А и обозначается Р(А). Как показала практика, с ростом объема партии изделий n относительные частоты теснее группируются около вероятности,т.е. обнаруживают устойчивость.



Устойчивость относительной частоты случайного события является определяющим его свойством, позволяющим использовать относительную частоту как оценку вероятности в различных практических расчетах.

Определения вероятности

Классическое определение вероятности события А – отношение числа m элементарных событий (исходов испытаний), благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий .

Статистическое определение вероятности ,

где – частота события А при n испытаниях.

Геометрическая вероятность ,

где – площадь некоторого замкнутого контура, составляющая часть площади S.

Основные формулы комбинаторики

Используются для вычисления вероятностей событий.

Перестановки – комбинации из n различных элементов, отличающиеся лишь порядком. Число перестановок вычисляется по формуле

.

Число перестановок из n элементов по m, где каждый элемент может использоваться от 0 до m раз, равно



.

Например, при n=2, m=8 Pn,m=28=256.

Размещения – комбинации из n различных элементов по m элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком

.

Сочетания – комбинации из n различных элементов по m элементов, различающиеся хотя бы одним элементом

.

При этом , откуда следует, что 0! = 1.

Пример.

В партии из N деталей М стандартных. Выбираются n деталей. Требуется найти вероятность того, что m деталей будут стандартными.

Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно взять n деталей из N. Это число равно числу сочетаний из N по n, т.е. .

Найдем далее число благоприятствующих исходов. Поскольку m стандартных деталей выбираются из общего их числа М, то число таких комбинаций равно . Остальные n-m нестандартных деталей выбираются из N–M нестандартных деталей – это комбинаций. Число благоприятствующих исходов равно произведению . Следовательно,

.

Это – известное гипергеометрическое распределение.

Несовместные и независимые события.

События, которые непременно происходят при каждом испытании, называются достоверными.

События, которые не могут произойти ни при каком испытании, называются невозможными.

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.

Если при осуществлении испытания может наступить хотя бы одно из двух событий А или В, то событие С=А+В

называется суммой, или объединением событий А и В.

Два события А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе при одном испытании.

Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)



Пусть А и В – несовместные события. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для нескольких несовместных событий имеем

.

Для совместных событий

,

где Р(АВ) – вероятность совместного появления событий А и В.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.