Теорема умножения вероятностей (независимых событий)

Вероятность произведения (совмещения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).

Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимаем подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, т.е. А=А₁А₂.

Решение. А₁ – появление белого шара при первом испытании; А₂ – появление белого шара при втором испытании.

.

Следствие теоремы умножения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного события из событий А₁, А₂,…,А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

.

В частном случае, при

.

Пример. Вероятности попадания в цель каждого из трех стрелков равны: р₁=0,8; р₂=0,7; р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе.

Решение. Вероятности промахов равны:

. Следовательно,

.

Противоположные события. Полная группа событий.

Случайные события образуют полную группу, если они попарно несовместны, и при любом отдельном испытании непременно должно наступить одно из них.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Два случайных события называются противоположными, если в одном испытании появление одного из них (А) исключает появление другого ( ) – читается «не А».

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице .

Противоположные события образуют полную группу.

Если при осуществлении испытания может наступить и событие А, и событие В (совмещение событий А и В), то событие

называется произведением, или пересечением событий А и В.

Два случайных события называются независимыми, если при осуществлении испытаний появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

9. Случайная величина. Понятие закона распределения (дискретной) случайной величины. Формы задания закона распределения.

Для случайных величин приняты обозначения Х, Y, Z,…

Возможные значения случайной величины Х обозначаются строчными буквами х₁, х₂,…, х_n.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями (например, число отказавших приборов) в отличие от непрерывной случайной величины, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (например, время безотказной работы прибора).

Возможные значения прерывных (дискретных) величин могут быть заранее перечислены, а непрерывных – не могут быть перечислены.

Закон распределения случайной величины – это всякое соотношение, устанавливающее взаимосвязь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. При этом сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице.

Закон распределения случайной величины можно задать таблично, аналитически и графически:

а) табличная форма задания закона распределения в виде ряда распределения

б) аналитическая форма ;

в) графическая форма – в виде многоугольника распределения.

На оси абсцисс откладываются значения случайной величины и строятся отрезки, равные по высоте вероятностям. Вершины отрезков для наглядности соединяются ломаной.

Функция распределении, плотность распределения.

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х называется функция F(х), значения которой равны вероятностям Р(Х<x) F(x)=P(X<x)=P(–∞<X<x).

Из этого определения вытекают следующие свойства функции распределения:

0£F(x)£1.

F(b)³F(а) при b>a, т.е. функция распределения – неубывающая.

P(a£X<b)=F(b)–F(a).

, если распределение задано на всей числовой оси.

Если между двумя случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость Y=φ(X), причем, с ростом Х монотонно растет и Y, то их функции распределения равны F(x)=F(y)=F(φ(x)).

Если с ростом Х величина Y монотонно убывает, то F(x)=1–F(y)=1- F(φ(x)).

Плотность распределения

Плотностью распределения (дифференциальным законом распределения) непрерывной случайной величины Х называется первая производная от функции распределения .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: