Writeln('Нажми Enter'); readln

End.

Практическое задание N 1. 12

1. Провести численную проверку неравенства Коши-Буняковского:

( a₁*b₁+ a₂*b₂+ . . . + a_N*b_N )² £ ( a₁²+a₂²+. . . +a_N² ) * ( b₁²+b₂²+. . . +b_N² );

где a₁, a₂, . . . , a_N > 0, b₁, b₂, . . . , b_N > 0,

в частном случае двух пар целых чисел в диапазоне от 1 до 50.

2. Провести численную проверку неравенства:

(a₁ + a₂ +. . . + a_N)/N £ Ö ((a₁² + a₂² +. . . + a_N² )/N), где a₁, a₂, . . . , a_N > 0

в частном случае трех целых чисел в диапазоне от 1 до 70.

В некоторых случаях во вложенных циклах начальные или конечные значения параметров цикла зависят от текущего значения внешнего параметра цикла.

Например, одно из неравенств Чебышева имеет вид:

( a₁+a₂+. . . +a_N ) * ( b₁+b₂+. . . +b_N )/N² £ ( a₁*b₁+ a₂*b₂+ . . . + a_N*b_N )/N ;

для 0 < a₁ £ a₂ £ a₃ £ . . . £ a_N, 0 < b₁ £ b₂ £ b₃ £ . . . £ b_N.

При проверке этого неравенства в случае двух пар целых чисел в диапазоне от 1 до 50 можно использовать операторы:

bb:= true;

For a1:= 1 to 50 do For a2:= a1 to 50 do

For b1:= 1 to 50 do For b2:= b1 to 50 do

Begin

S:= (a1+a2)*(b1+b2); P:= (a1*b1+ a2*b2)*2;

if S > P then bb:= false end;

Практическое задание N 1. 13

Провести численную проверку неравенств Чебышева :

1. ( a₁+a₂+. . . +a_N ) * ( b₁+b₂+. . . +b_N )/N² ³ ( a₁*b₁+ a₂*b₂+ . . . + a_N*b_N )/N ;

2. ( a₁²+ a₂²+. . .+a_N² ) * ( b₁² +b₂²+. . .+b_N² )/N² ³ ( ( a₁*b₁ )² +( a₂*b₂ )²+ . . .+( a_N*b_N )² )/N;

для 0 < a₁ £ a₂ £ a₃ £ . . . £ a_N, b₁ ³ b₂ ³ b₃ ³ . . . ³ b_N > 0,

в частном случае трех пар целых чисел в диапазоне от 1 до 10.

Начальные и конечные значения параметров циклов могут определяться из условий задачи, например, для расчета количества "k" повторений цифры "N" в целых двузначных числах можно использовать операторы:

k:= 0; for i:= 1 to 9 do

for j:= 0 to 9 do begin if i = n then k:= k+1;

if j = n then k:= k+1 end;

Здесь первая цифра числа может принимать значение от 1 до 9, а вторая - от 0 до 9,

Практическое задание N 1. 14

1. Рассчитать все целые чисела (a, b, c), удовлетворяющие условию:

a² + b² = c²; где с<101.

2. Рассчитать все целые чисела (a, b, c, d), удовлетворяющие условию:

a³ + b³ + c³ = d³; где d<21.

3. Рассчитать все трехзначные чисела, сумма цифр которых делится нацело на тринадцать.

4. Рассчитать номера всех счастливых четырехзначных билетов.

Примечание: программы выводят на экран все числа, удовлетворяющие указанным условиям и суммарное число возможных комбинаций. Для приостановки вывода строк на экран можно использовать оператор: If (I MOD 20)=0 then Readln;

где I - число выведенных строк.

5. Рассчитать зарплату купюрами достоинством 1, 3, 5 рублей. Программа запрашивает ввод величины зарплаты и выводит на экран все возможные комбинации числа купюр, сумма которых равна заработной плате. Начальные значения параметров циклов равны нулю, конечные значения параметров циклов находятся делением величины зарплаты на 1, 3, 5.

Операторы цикла с условием

В Турбо-Паскале применяются два оператора цикла с условием:

While "условие" DO "оператор";

- цикл с предусловием: проверка условия перед каждым выполнением "оператора",

Repeat "операторы" Until "условие";

- цикл с постусловием: проверка условия после каждого выполнения "операторов".

Здесь "условие" - выражение логического типа (Boolean).

Схема выполнения операторов имеет вид:

False

While Repeat

"операторы"

True

Do False

"оператор" Until

True

В цикле While. . . "оператор" выполняется если условие верно (True), если условие ложно (False), то цикл заканчивается, т. е. цикл While. . . повторяется пока выполняется условие.ЦиклWhile. . . начинается проверкой условия, поэтому, если начальное условие ложно, то "оператор" не выполняется ни разу. Для включения в тело цикла нескольких операторов применяется составной оператор: Begin "операторы" end.

Цикл Repeat. . . повторяется, если условие ложно (False), и заканчивается, если условие верно (True), т. е. цикл Repeat. . . повторяется до выполнения условия. Цикл Repeat. . . заканчивается проверкой условия, поэтому "операторы" выполняются не менее одного раза. В теле цикла может записываться более одного оператора.

Циклы с условием обычно используются в тех случаях, если количество повторений блока операторов заранее не известно, например, при расчете суммы членов бесконечного ряда с заданной погрешностью.

Сумма членов бесконечной последовательностиa₁, a₂, a₃, . . . , a_N, . . . называется бесконечным рядом и записывается в виде:

a₁ + a₂ + a₃ +. . . + a_N+. . . .

Здесь a_N - общий член ряда. Сумма конечного числа членов ряда называется частичной суммой и обозначается " S_N ". Если сумма членов бесконечного ряда имеет конечный

предел "S", то ряд называется сходящимся. Для некоторых рядов получены формулы расчета суммы членов ряда. Например, сумма членов числового ряда:

1 + 1/3² + 1/5² + . . . + 1/(2*N-1)² + . . . имеет предел S = Pi²/8;

и общий член a_N= 1/(2*N-1)², где N = 1, 2, 3, .. .

Для сходящегося ряда вычисляется последовательность частичных сумм с заданной погрешностью. Абсолютная погрешность расчетов определяется по формуле Eps=abs(S-S_N), либо Eps=abs(a_N), если значение S неизвестно. Относительная погрешность расчетов определяется по формуле Eps_o=abs((S-S_N)/S), либо Eps_o=abs(a_N/S_N). Частичные суммы вычисляются по формуле: S_N = S_N-1 + a_N;

Для знакопеременного ряда следует добавить k₁=-1, а в цикле: k₁:=-k₁, a_N=k₁*a_N. В некоторых случаях "N"-ый член ряда выражается через "N-1"-ый, например, для ряда:

1 + 1/2! + 1/4! + 1/6! + . . . + 1/(2*N)! + . . . ; N = 0, 1, 2, . . .

общий член ряда вычисляется по формуле: a_N = a_N-1*k;

Параметрk = a_N/a_N-1;- коэффициент роста вычисляется предварительно (до написания программы). Для данного ряда

a_N = 1/(2* N )! = 1/( 1*2*. . . *(2*N-2)*(2*N-1)*2*N);

a_N-1 = 1/(2*(N-1))!= 1/((2*N-2))!= 1/(1*2*. . . *(2*N-2));

k = a_N/a_N-1 = 1/((2*N-1)*2*N).

ЗдесьN! = 1*2*3*. . . *N;- вычисление факториала числа "N", причем 0! = 1.

Расчет частичных сумм производится в цикле с условием, например, для данного ряда операторами:

N:= 0; a:= 1; SN:= 1; e:= 2. 7182828; S:= (e2 + 1)/e;

repeat N:= N+1; k:= 1/((2*N-1)*2*N); a:= a*k;

SN:= SN+a;

Writeln('Частичная сумма Sn=', Sn:-11:6, '_ _ n=', n:2);

until abs(S-Sn) < eps;{ eps - допустимая погрешность расчетов}

Writeln('_ _ _ Сумма ряда S =', S :-11:6);

Практическое задание N 1. 15

Определить число членов ряда, необходимых для расчета с заданной погрешностью суммы членов ряда:

N Вид ряда Общий член ряда Сумма N=

1 1- 1 / 2² + 1 / 3² - 1 / 4² + . . . (-1)^(N-1) / N² Pi² / 12 1, 2, 3, . . .

2 1- 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + . . . (-1)^N / (2*N+1) Pi / 4 0, 1, 2, . . .

3 1 / (1*2) + 1 / (2*3) + 1 / (3*4) + . . . 1 / (N*(N+1)) 1 1, 2, 3, . . .

4 1 / (1*3) + 1 / (3*5) + 1 / (5*7) + . . . 1 / ((2*N-1)*(2*N+1)) 1 / 2 1, 2, 3, . . .

5 1- 1 / 1! + 1 / 2! - 1 / 3! + . . . (-1)^N / N! 1 / e 0, 1, 2, . . .

6 1+ 1 / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! + . . . 1 / N! e 0, 1, 2, . . .

Если члены ряда являются функциями аргумента "x", то ряд называется функциональным. Расчет многих функций производится разложением функции в степенной ряд.Приведем пример расчета значения функции y=sin(x) при некотором значении "х" с использованием представления функции в виде ряда:

y₁ = x - x³/3! + ... + (-1)^(N+1) * x^(2*N+1)/(2*N+1)! + ...

где a₀= x, a_N= k * a_N-1, k= (-x²)/(2*N*(2*N+1)), N= 0, 1, 2, ...

Kаждый член ряда а_N при N>0 можно получить умножением предыдущего члена ряда a_N-1 на коэффициент k. Приближенное значение функции y=sin(x) находится как частичная сумма "N" членов ряда. Погрешность вычисления значения функции "у" при некотором значении "х" зависит от количества членов ряда и значения "х", поэтому расчет заканчивается при |a_N| < eps, где eps - допустимая погрешность расчетов. В программе используем цикл с условием, например:

PROGRAM SIN_R;

Var y, y1, x, eps, a, k: real; n: Word;

Begin

Writeln('Вычисление y=sin(x) с использованием ряда !');

Write('Введите значение аргумента x='); readln(x);

Write('Введите значение погрешности еps='); readln(eps);

Writeln; y:= sin(x);

n:= 0; a:= x;{ a - первый член ряда }

y1:= a; { y1 - первая частичная сумма ряда }

While abs(a) > eps do begin

n:= n+1; k:= -x*x/(2*n*(2*n+1)); a:= a*k; y1:= y1+a;

Writeln('Приближенное значение функции y1=', y1:-11:8, ' при n=', n )

end;

Writeln('Контрольное значение функции y=sin(x)=',y:-11:8);

Writeln('Нажмите Enter'); readln;

End.

Применение оператора Repeat. . . в данном примере имеет вид:

Repeat "операторы" Until abs(a) < eps;

Операторы цикла с условием могут применяться для анализа правильности вводимых данных. Контроль входных данных обязателен для рядов, сходящихся не во всей области "X", например, |X|<1 при разложении функции arctg(x) в степенной ряд. В этом случае можно использовать "защиту от дурака", например:

Repeat Write('введите значение |х|<1;_ _x='); readln(x)

until abs(x)<1;

Практическое задание N 1. 16

1. Рассчитать значение функции y=f(x) при некотором значении "х" с использованием представления функции в виде ряда:

N Вид ряда Общий член " N" "Y" "X"

1 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... (-1)^N *x^(2*N) / (2*N)! 0, 1, . . . cos(x) любое

2 1 + x¹/1! + x²/2! + ... x^N / N! 0, 1, . . . e^x любое

4 x - x³/3 + x⁵/5 - ... (-1)^N *x^(2*N+1) 0, 1, . . . arctg(x) |X|<1

(2*N+1)

5 ( x-1 ) ₊ ( x-1 )² +... (x-1)^N 1, 2, . . . ln(x) X>0. 5

x 2*x² N * x^N

6 x - x²/2 + x³/3 - ... (-1)^N *x^N / N 1, 2, . . . ln(1+x) -1<X<=1

Программа запрашивает ввод величин "х", "еps" и выводит на экран приближенное значение "y1" для каждого "N" и "контрольное" значение "y".

2. Определить число месяцев, через которое начальная сумма вклада в банк увеличится более чем в три раза. Процентная ставка равна 5% в месяц. Программа выводит на экран ежемесячное значение конечной суммы.

3. Определить число месяцев, через которое начальная сумма валютного вклада в банк увеличится в рублях более чем в три раза. Процентная ставка равна 0. 3% в месяц, а курс валюты растет по отношению к рублю 1% в месяц. Программа выводит на экран ежемесячное значение конечной суммы в рублях.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: