Краткая характеристика объекта изучения.
В цифровой вычислительной технике (ЦВТ) вся информация, необходимая для вычислительного процесса, представляется в виде набора дискретных сигналов. Каждый из сигналов может принимать одно из двух возможных значений, обозначаемых «1» и «0». Символ «1» обозначает наличие сигнала, «0» – его отсутствие.
В схемах цифровых вычислительных устройств переменные и соответствующие им сигналы изменяются и воспринимаются не непрерывно, а лишь в дискретные моменты времени, обозначаемые целыми положительными числами.
ti = 0,1,…,i,…,n
При потенциальном способе представления информации при положительной логике двум значениям переменной “1” и “0” соответствует высокий и низкий уровни напряжения. Потенциальный сигнал сохраняет постоянный уровень (нулевой или единичный) в течение периода представления информации (такта).
Понятие о комбинационной схеме и цифровом автомате.
Преобразование информации в ЦВТ производится электронными устройствами двух классов: комбинационными устройствами (схемами) и последовательностными устройствами (цифровыми автоматами или автоматами с памятью).
В комбинационных схемах (КС), называемых также автоматами без памяти, совокупность выходных сигналов (выходное слово Y) в дискретный момент времени ti однозначно определяется входными сигналами (входным словом X), поступившим на входы в тот же дискретный момент времени.
Реализуемый в этих схемах способ обработки информации называется комбинационным, т.к. результат обработки информации зависит от комбинации входных сигналов и вырабатывается сразу после подачи на входы входной информации.
Закон функционирования КС определен, если задано соответствие между входными словами и её выходными словами в табличной или аналитической форме.
Yi=fi(x1,x2,…,xn)
В алгебре логики (булевой алгебре) обычно все Xi и Yiмогут принимать только два значения: 0 и 1. В этом случае функции f1…fm называются функциями алгебры логики (булевыми или двоичными функциями).
Другой, более сложный, класс преобразователей цифровой информации составляют цифровые автоматы. Цифровой автомат, в отличие от логической схемы, имеет некоторое конечное число различных внутренних состояний.
Q = {q0, q1,…, qk}
Под воздействием входного слова цифровой автомат переходит из одного состояния в другое и выдает выходное слово. Выходное слово на выходе цифрового автомата в дискретный момент времени определяется входным словом, поступившим в этот момент времени на вход автомата, и внутренним состоянием автомата, которое явилось результатом воздействия на автомат входных слов в предыдущие моменты времени.
Цифровой автомат обязательно содержит память, состоящую из запоминающих элементов (триггеров, элементов задержки и др.), фиксирующих состояние, в котором он находится.
Комбинационная схема не содержит запоминающих элементов, поэтому её называют автоматом без памяти или “примитивным автоматом”
Элементы алгебры логики.
Логика в общем смысле – это наука о формах и законах мышления. Математическая логика – наука о применении математических методов для решения различных логических задач.
В ЦВТ для целей проектирования используется, главным образом, начальный раздел математической логики – исчисление высказываний (алгебра логики, булева алгебра).
Возможность применения алгебры логики к задачам проектирования цифровых устройств обусловлена аналогией понятий и категорий алгебры логики и двоичной системы счисления.
Множество элементов, которые рассматриваются в алгебре логики равно 2. Эти элементы получили название двоичных переменных. Для них в алгебре логики определены:
– отношение эквивалентности, обозначаемое символом равенства “ = ”,
– три операции:
1) операция логического сложения (дизъюнкции), обозначаемая символом “Ú” или “+”,
2) операция логического умножения (конъюнкции), обозначаемая символом “Ù” или “&” или “×”,
3) операция логического отрицания (инверсии), обозначаемая черточкой над двоичной переменной “ ”.
В качестве постулатов или аксиом принимается, что при выполнении перечисленных операций отношения эквивалентности имеют следующий вид:
а) 0+0=0 б) 0*0=0 в) =1
0+1=1 0*1=0 = 0
1+0=1 1*0=0
1+1=1 1*1=1
Возможна и другая система постулатов. На основании постулатов выводятся соотношения или законы алгебры логики для двоичных переменных.
Законы одинарных элементов:
а) закон универсального множества – , ,
б) закон нулевого множества – , .
Законы отрицания:
а) закон двойного отрицания – ,
б) закон дополнительности – , ,
в) закон двойственности – , .
Комбинационные законы:
а) закон тавтологии – ,
б) переместительный закон – ,
в) сочетательный закон – , ,
г) распределительный закон – , ,
д) закон поглощения – , ,
е) закон склеивания – , .
Законы двойственности, называемые также законами де Моргана, были обобщены Шенноном в следующую теорему:
Операция инвертирования произвольной комбинации двоичных переменных, связанных знаками дизъюнкции и конъюнкции эквивалентна замене в этой комбинации исходных значений двоичных переменных их инверсными значениями при одновременной смене знаков дизъюнкции и конъюнкции.
f(х1,х2,…,хp,” + ”, ” * “)=f(х1,х2,…,хp ,” * ”, “ + ”).
Двоичной (булевой) функцией называется двоичная переменная (у), значения которой зависят от значений других двоичных переменных (х1,х2,…,хр), называемых аргументами, т.е.
У=f(х1,х2,…,хр).
Чтобы задать двоичную функцию, необходимо каждому из возможных сочетаний (наборов) её аргументов поставить в соответствие определенное значение функции “у” т.е. 1 или 0, поскольку двоичная функция, как и её аргументы принимает только два значения 1 или 0.
При числе аргументов функции равном “р”, полное число различных наборов аргументов
.
Поскольку каждому набору могут соответствовать два значения “у” (0 или 1), то общее число различных функций от “р”аргументов будет определяться следующим соотношением
F=22R.
Для р=1, F=4 т.е. существует 4 функции одного переменного, табл.1.1
Таблица.1.1.
Х
| 0
| 1
| Выражение
у=f(х)
| Наименоние
у=f(х)
| № п/п
| Значение f(х)
|
|
|
| у0=0
| Константа 0
|
|
|
| у1=х
| Повторение
|
|
|
|
| Функция НЕ
|
|
|
| у3=1
| Константа 1
| | | | | | | Для р=2, F=16, т.е. существует 16 различных функций от двух переменных, табл.1.2.
Таблица.1.2.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|