Сделай Сам Свою Работу на 5

Под наращенной суммой S понимают сумму первоначального долга Р и начисленных процентов I.





Простая процентная ставка

Проценты начисляются на постоянную во времени, денежную базу , где

i-процентная ставка,

n- срок ссуды.

где q- множитель наращения, (показывает во сколько раз увеличилась первоначальная сумма.)

Обычно n-измеряется в годах. Если n меньше года, то эта величина дробная. Например: полгода-n=1/2, квартал- n=1/4, месяц-n=1/12. Если n измеряется в днях, то вычисляется : n= , где t- число дней, К- временная база- число дней в году. (К=360-коммерческие проценты, К=365,366- точные проценты.).

Время t- можно вычислить приближенно (360) и точно (365)

Три варианта расчета n простых процентов:

1) Английская методика (365/365)

2) Французская методика (365/360)

3) Германская методика (360/360).

Тогда формула для определения наращенной суммы по простым процентам:

Реинвестирование - неоднократное, последовательное повторение наращения.

Если процентные ставки и периоды реинвестиций меняются, то наращенная сумма определяется следующим образом:

Если процентные ставки и периоды реинвестиций не меняются, то наращенная сумма определяется как

, где

m-количество реинвестиций

Сложная процентная ставка



Проценты начисляются на переменную во времени базу, т.е. проценты начисляются на проценты.

Если наращение процентов (капитализация) происходит 1 раз в год, то наращенная вычисляется по формуле:

При дробном числе периодов возможны два способа вычисления:

Общий метод - (n-дробное число)

Смешанный метод - ,где а- целое число лет; b- дробная часть (n=a+b)

Если наращение процентов происходит m- раз в год, то формула сложных процентов принимает вид:

, где:

m- число периодов начисления в году

j- номинальная процентная савка

Задача 1. 1

2000 р. положены 1 февраля 2004 г. на месячный депозит под 10% годовых. Какова будет наращенная сумма через три месяца. Рассмотреть в случае использования английской, французской и немецкой методик.

Решение

Так как депозит является месячным, то реинвестиция происходит три раза.

1) Английская методика—в феврале: с 13 по 29 (29 дней), в марте с 1 по 31 (31 день), в апреле с 1 по30 (30 дней):

р.

2) Французская методика—дни исчисляются точно, а временная база – 360 дней:

р.

3) Немецкая методика предусматривает, что в каждом месяце по 30 дней временная база -360 дней:



р.

Ответ: Наращенная сумма составит:

1) английская методика—2049,721 р.;

2) французская методика—2050,983 р.;

3) немецкая методика—2050,418 р.

 

Задача 1.2

Ссуда в размере 250000 р. выдана 23 января до 3 октября включительно под 13 % годовых. Применить французскую методику для вычисления суммы, которую должен заплатить должник в конце срока. Рассмотреть случаи простой и сложной процентных ставок

Решение

1)Рассмотрим случай простой процентной ставки:

Точное число дней по французской методике равно 253 (убедитесь в этом самостоятельно). Получаем:

р.

2)Рассмотрим случай сложной процентной ставки

, где n- дробное.

р.

Действительно, наращение по сложным процентам за период меньше года дает меньший результат, чем по простым процентам.

Ответ: Наращение по простым процентам - 272840,3 р. Наращение по сложным процентам - 267319 р.

Задача 1.3

Определить более выгодный вариант вложения денежных средств в объеме 15000 р.: 1) сроком на 2 года, получая доход в виде простой процентной ставки 20% 2)по сложной ставке 12% с годовой капитализацией

Решение

1)простые проценты:

; р.

б) сложные проценты

; р.

Более выгодный вариант вложения средств - это тот, который дает большую наращенную сумму

Ответ: Более выгодный вариант- вложение средств по сложной процентной ставке 12% годовых. Такая финансовая операция дает результат в виде суммы- 21600 р.

Задача 2
Математическое дисконтирование в случаях простой и сложной процентной ставке

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Решив уравнения для определения наращенной суммы относительно Р, находим:



Простые проценты Сложные проценты
Начисление процентов
раз в год: m раз в год

 

Задача 2. 1

Инвестор намерен положить деньги в банк под 20% годовых с целью накопления через два года 500 тыс. р. Определить сумму вклада в случае простых и сложных процентов.

Решение

1) Для случая простых процентов получаем

тыс. р.

2) В случае сложных процентов (капитализация один раз в год)

тыс. р.

Ответ: 357,1429 тыс. р. (для простых процентов), 347,2222 тыс. р. (для сложных процентов). Это означает, что при использовании простой процентной ставки при прочих равных условиях, инвестор, для накопления необходимой суммы, должен положить большую сумму, нежели при использовании сложной ставки.

Задача 3.
Банковский учет по простой и сложной учетной ставке. Рост по учетной ставке

Банковский учет- это метод, где проценты за пользование ссудой в виде дисконта ( ) начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока договора. При этом применяется учетная ставка d.

  Простая учетная ставка Сложная учетная ставка
дисконтирование 1 раз в год дисконтирование m раз в год
Банковский учет
Наращение

 

В формулах использованы следующие обозначения:

n-срок от момента учета до даты погашения векселя в годах;

f-номинальная годовая учетная ставка.

Задача 3.1

Вексель на сумму 9000 р. предъявлен в банке за полгода до срока его погашения. Определить сумму, выплаченную владельцу векселя, и сумму дисконта, для простой и сложной учетной ставке 20% годовых.

Решение

1) Для случая простой учетной ставки:

р.

Дисконт: р.

2) Для сложной ученой ставки:

р.

Дисконт: р.

Ответ: 8100 р. 900 р. (для простой учетной ставки); 5760 р. 3240 р. (для сложной учетной ставки). Это значит, что владелец при учете векселя по сложной учетной ставке получит меньшую сумму при прочих равных условиях, а удержанная сумма (дисконт) будет больше чем при учете по простой учетной ставке.

Задача № 4
Определение срока платежа, процентных и учетных ставок. Эквивалентность финансовых операций в случаях простой и сложной процентной ставке

Для определения срока платежа, процентных и учетных ставок нужно решать уравнения, рассмотренные ранее, относительно тех параметров, которые необходимо найти.

Эффективная процентная ставка - годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и начисление по номинальной ставке m раз в год.

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год и находится путем приравнивания множителей дисконтирования по годовой учетной ставке и по номинальной учетной ставке m раз в год

Эффективная процентная ставка Эффективная учетная ставка

 

Следует отметить, что при прочих равных условиях эффективная учетная всегда ставка меньше или равна номинальной.

Замена одного вида ставки (процентной или учетной) на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменит финансовых результатов. Такие ставки называются эквивалентными.

Формулы эквивалентности всегда получаются путем приравнивания соответствующих множителей наращения и решения полученного уравнения.

Простая ставка Сложная ставка
процентная учетная процентная учетная

Для определения срока или ставки финансовой операции необходимо, из уже знакомых формул наращения и дисконтирования по процентным и учетным ставкам, выразить период или ставку.

Простые проценты Сложные проценты
 

 

Задача 4.1

Какова эффективная ставка процентов, если номинальная ставка равна 35 % при помесячном начислении процентов.

Решение

Ответ: Эффективная ставка процентов равная 41,2% в год приводит к тем же финансовым результатам, что и ставка процентов равная 35% с капитализацией раз в месяц.

Задача 4.2

Определить значение учетной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 35 % годовых.

Решение

Ответ: Учетная ставка, эквивалентная ставке простых процентов, равна 23,9%

Задача 5.
Наращение сложных и простых процентов с учетом налогов

Учет налога на проценты уменьшает реальную наращенную сумму. Это ведет к тому, что финансовая операция осуществляется по уменьшенной ставке процентов.

Обозначим:

q- ставка налога на полученные проценты.

-наращенная сумма с учетом налогов.

-фактическая ставка процентов с учетом налогов.

Учет налога на проценты при начислении
Простых процентов Сложных процентов
     

 

Замечание: в долгосрочных операциях при начислении сложных процентов возможны два варианта расчета налогов:

· Налог начисляется на всю сумму процентов. При этом сумма налога:

· Налог начисляется последовательно, в конце каждого периода. В этом случае сумма налога определяется за каждый истекший период.

…………………………………….

Причем

Задача 5.1

Банк начисляет проценты по ставке 20% годовых на сумму 200 тыс. р., ставка налога составляет 35%. Рассмотреть финансовую операцию за два года, если используется простая и сложная ставки процентов. Найти фактическую наращенную сумму, фактическую доходность операции в виде ставки процентов (простой и сложной).

Решение

Рассмотрим случай простой процентной ставки:

Вспомним, что наращенная сумма без учета налогов рассчитывается как:

Аналогично решаем задачу для случая сложной процентной ставки:

.

Подставляя численные значения, получаем фактическую наращенную сумму:

Ответ: В случае простой процентной ставки наращенная сумма с учетом налогов составляет 252 тыс. р. Фактическая ставка простых процентов равна 13%

В случае сложной процентной ставки наращенная сумма с учетом налогов составляет 257200 р. Фактическая ставка сложных процентов равна 13,4%

Задача 6
Наращение сложных и простых процентов с учетом инфляции

Инфляция- снижение реальной покупательной стоимости денег за период, охватываемый финансовой операцией.

Будем использовать следующие обозначения:

S- наращенная сумма по номиналу

C- наращенная сумма с учетом обесценивания

индекс покупательной способности (<1):

индекс потребительских цен (>1):

H- темп инфляции (относительный прирост цен за период (%)):

- среднегодовой темп роста цен:

h- среднегодовой темп инфляции:

Индекс цен за несколько периодов:

Если ,то (k-общее число периодов)

барьерная ставка процентов (ставка процентов, выше которой будет приносить, в условиях данных показателей инфляции, реальный доход.)

- брутто- ставка (ставка процентов, обеспечивающая реальную доходность финансовой операции в условиях инфляции)

Перечисленные параметры связаны между собой соотношениями, представленными в таблице:

Показатели Учет инфляции
простые проценты сложные проценты
наращенная сумма
барьерная ставка
брутто- ставка
реальная доходность

 

Учет инфляции в финансовых операциях чаще всего состоит в решении двух проблем:

§ расчет реальной наращенной суммы С

§ расчет реальной доходности финансовой операции в виде процентной ставки i

Задача 6.1

За два года цены выросли в 4 раза. Найти среднегодовые темп роста цен и темп инфляции.

Решение

Ответ: Среднегодовой темп роста цен равен 2, среднегодовой темп инфляции составляет 100%

Задача 6.2

Банк начисляет проценты по вкладу по номинальной ставке 12 % годовых с ежемесячной капитализацией. Среднегодовой темп инфляции 2 %. Найти реальную доходность операции.

Решение

Реальную доходность операции обеспечивает брутто- ставка.

Речь идет о сложных процентах. Найдем эффективную ставку процентов:

Таким образом

Находим реальную доходность в виде сложной процентной ставки:

= = 0,0830

Ответ: В условиях данной инфляции реальную доходность будет приносить ставка 8,3%

Задача 7.
Наращенная сумма постоянной финансовой ренты

Финансовая рента (аннуитет)- поток платежей, все члены которого представляют положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы.

Обозначения:

R- годовой член рент

p- количество платежей в году

m- количество начислений процентов в году.

Расчетные формулы представлены в таблице

Количество платежей в году Количество начислений в году Наращенная сумма постоянной финансовой ренты постнумерандо
P=1 m=1 ;
m>1
p>1 m=1
m=p

 

Замечание: Для более оперативного решения рекомендуется использование приложения методического пособия по финансовой математике, где множители наращения при данных условиях занесены в таблицах. Однако табличные значения используются, только если параметры, определяющие коэффициент будут целыми величинами.

Задача 7.1

Производятся взносы в течение 15 лет, ежегодно по 10000 р., на которые начисляются проценты по сложной ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

В данной задаче рассматривается годовая рента постнумерандо. Ее наращенная сумма вычисляется по формуле:

Подставляя численные значения, получаем: р.

Другой способ состоит в использовании таблиц коэффициентов наращения годовой ренты.

По таблице находим: :( ) ., после чего определяем наращенную сумму путем умножения коэффициента наращения на размер ренты:

Ответ: Наращенная сумма составит 3727971,1466 р.

Задача 8.
Современная стоимость постоянной ренты

Современная стоимость-сумма дисконтированных членов потока платежей на некоторый предшествующий момент времени. Формулы для ее расчета приведены в таблице.

Количество платежей в году Количество начислений в году Современная стоимость постоянной финансовой ренты постнумерандо
P=1 m=1
m>1
p>1 m=1
m=p

 

Замечание: Как для вычисления наращенной суммы, можно воспользоваться значениями коэффициентов приведения годовой финансовой ренты.

Задача 8.1

Ежегодная финансовая рента, сроком на 7 лет, составляет для фирмы 200 р. Платежи осуществляются поквартально. Проценты в размере 5% годовых капитализируются поквартально. Найти современную стоимость такой ренты.

Решение

Исходя из условий задачи, выбираем расчетную формулу:

Подставляя численные значения, получаем:

р.

Ответ: Современная стоимость потока платежей составила 4000 р.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.