Основная теорема гидростатики.Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование.

Гидростатическое давление в данной точке не зависит от на­прав­ления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям. Докажем, что р_х = р_у = р_z = р_n, где р_х, р_y, р_z, р_n –представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении ко­ор­динатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном на­прав­ле­нии N-N (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, со­ответ­ст­-венно параллельными координатным осям, и с массой dm = , где r – плотность жидкости.Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения мо­мен­тов такой системы удовлетворяются тождественно, а действую­щие на не­го силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

Таким образом, остается только три проекции сил:

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.Таких сил будет четыре (по числу граней).На грань АВС действует сила , где р_х – среднее гидростатическое давление для треугольника АВС с площадью .Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сто­рону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».Силы dP_yиdP_z,действующие на грани ABD и ACD, соот­вет­ст­вен­­но параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны ну­лю.Четвертая сила dP_n – сила давления на грань ВСD равна: , где р_n – среднее гидростатическое давление для грани BCD; dw – площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox: .Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox.роизведение dwcos(N,ox) представляет собой проекцию пло­ща­ди треугольника BCD на плоскость уoz и равно: .Тогда проекция силы dP_n на ось ox численно равна: .

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на оси oy и oz:

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к рав­нодействующей dR, образующей с координатными осями углы a, b, g и равной:

, где dm –масса тетраэдра, равная: , j – ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения). dxdydz – объем тетраэдра;

Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что Тогда проекции объемной силы dR равны:

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12): .

Или после сокращения на dydz: .Пренебрегая dxXкак бесконечно малым относительно p_xиp_n, получаем p_x – p_n = 0или p_x = p_n.Аналогично p_y = p_nи p_z = p_n.Следовательно, p_x = p_y = p_z = p_n. Что и надо было доказать.Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому на­правлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направ­ле­ния действия.

- Выделим в жидкости элементарный параллелепипед ABCDA^¢B^¢C^¢D^¢ .Полагая его твердым телом, составим три уравнения проекций действующих сил :

=0; =0; =0.

Уравнение моментов исключается. Составим уравнение проекции сил на ось ox, т.е. уравнение = 0.Равновесие параллелепипеда обеспечивается шестью проекциями (по числу граней).В уравнение = 0войдут только две силы: dPи dP^¢.Сила давления на грань ABCD где р –среднее гидростатическое давление на грань ABCD.Сила давления на грань A^¢B^¢C^¢D^¢ , где р^¢ – среднее гидростатическое давление на грань A^¢B^¢C^¢D^¢ (р^¢ ¹ р).Определим р^¢. Так как p = f(x,y,z), то при переходе от одной грани к другой давление должно изменяться в зависимости от одной координаты, так как в сходственных точках (A и A^¢, B и B^¢ и т.д.) давление зависит только от изменения одного аргумента x. Аргу­мен­ты y и z для сходственных точек (А и А^¢) остаются неизменными. Следовательно .Тогда .Сила dP^¢войдет в уравнение проекции со знаком «минус».

Проекции объемных сил.

Проекция объемной силы dRравна произведению массы на соответствующую проекцию ускорения объемной силы, т.е. ,Сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Ох равна: .После некоторого преобразования и деления на dxdydz(объем параллелепипеда dW) получим уравнение проекций сил на ось Ох, отнесенных к единице объема: . Аналогично получим два других уравнения: =0; =0.Таким образом, при равновесии жидкости имеем три диф­фе­рен­-циальных уравнения:

Система уравнений равновесия жидкости относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: