Основное уравнение гидростатики

Гидростатическое давление и его свойства

Гидростатика — раздел гидравлики, изучающий законы равновесия покоящейся жидкости. Жидкость, находящаяся в покое, подвергается действию внешних сил двух категорий: массовых и поверхностных. К массовым относятся силы, пропорциональные массе жидкости (сила тяжести, сила инерции). К поверхностным относятся силы, распределенные по поверхности, ограничивающей любой мысленно выделенный объем жидкости, и пропорциональные площади этой поверхности (сила давления, центробежная сила). Под действием внешних сил в каждой точке жидкости возникают внутренние силы, характеризующие ее напряженное состояние (давление в точке).

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 1). Мысленно разделим этот объем на две части произвольной плоскостью ABCD и отбросим верхнюю часть. Для сохранения равновесия нижней части к плоскости ABCD необходимо приложить силы, заменяющие действие верхней части объема жидкости на нижнюю.

Рис.1. Схема, поясняющая понятие гидростатического давления

Возьмем на плоскости ABCD произвольную точку и выделим около нее малую площадку . В центре этой площадки действует сила , представляющая собой равнодействующую сил, приложенных к различным точкам площадки . Если значение силы разделить на площадь , то получим среднее значение давления на единицу площади:

В гидравлике силу называют суммарной силой гидростатического давления, а отношение — средним гидростатическим давлением. Если уменьшать площадку , то среднее гидростатическое давление будет стремиться к некоторому пределу, выражающему гидростатическое давление в точке:

Иначе говоря, гидростатическое давление в точке является пределом отношения силы давления, действующей на элементарную площадку, к ее площади, если она стремится к нулю.

Гидростатическое давление измеряется в единицах силы, де­ленных на единицу площади. В системе СИ за единицу давления принят паскаль (Па) — равномерно распределенное давление, при котором на площадь 1 м² действует сила 1 Н.

Гидростатическое давление обладает двумя свойствами: гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует; гидростатическое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям, т. е. не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует. Причём

гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали.

Основное уравнение гидростатики

.Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля. Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое, и определим гидростатическое давление р в точке А на бесконечно малой площадке dω, расположенной на глубине h от свободной поверхности жидкости и параллельной ей (рис. 2). Выделим над этой площадкой некоторый цилиндрический объем жидкости, заменив действие окружающей его среды силами давления на свободную поверхность p₀dω , на нижнее основание цилиндра pdω и на его боковую поверхность.

Рис. 2. Схема к выводу основного уравнения гидростатики

Силы давления жидкости на боковую поверхность цилиндра взаимно уравновешиваются. На выделенный объем действует также массовая сила — вес G = γhdω. Так как цилиндр находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на ось z будет равна нулю: рdω – γhdω - p0dω = 0 Сократив члены уравнения на dω, получим основное уравнение гидростатики: p = p0 + γh

Абсолютное, или полное, гидростатическое давление состоит из внешнего давления на свободную поверхность жидкости и манометрического (или избыточного) давления, которое создает слой воды над рассматриваемой точкой А (рис. 3).

Рис. 3. Схема установки пьезометра

В открытом сосуде на свободную поверхность жидкости действует атмосферное или барометрическое (зависящее от высоты над уровнем моря) давление. Обозначим атмосферное давление ратм, а манометрическое рман. Тогда в точке А абсолютное давление рабс = ратм + рман Следовательно, основное уравнение гидростатики можно записать так: рабс = ратм + γh

Из рис. 3 следует, что в закрытом сосуде р_абс = р_атм + γh_р, а с другой стороны р_абс = р₀ + γh, следовательно, р_атм + γh_р = р₀ + γh или

h_р = h + (р₀ - р_атм) / γ

Величина h_р — пьезометрическая высота, показывающая избыточное давление в точке, где присоединена трубка (пьезометр). В открытом сосуде h_р = h, так как р₀ = р_атм, т. е, пьезометрическая высота будет равна глубине погружения точки А в жидкость. Высоту поднятия воды в пьезометре относительно плоскости отсчета 00 называют пьезометрическим напором H_р. Для закрытого сосуда:

H_р = h_р + z = h + z + (p₀ - р_атм) / γ

Давление на жидкость ниже атмосферного называется вакуумом, т. е. вакуум — это недостаток давления до атмосферного: р_вак = р_атм - р_абс

Для измерения вакуума используют вакууметры (рис. 4).

Рис. 4. Схема установки вакууметра

В связи с тем, что р0 < ратм жидкость поднимается в трубке сосуда В на высоту hвак Из рис. 4 следует, что   ратм = р0 + γhвак   Тогда вакууметрическая высота будет определяться как hвак = (р0 - ратм) / γ

Для измерения давления применяют пьезометры, жидкостные и механические манометры и вакуумметры. Пьезометр (см. рис. 3) представляет собой открытую сверху стеклянную трубку диаметром 5 — 12 мм, помещенную на измерительной шкале и соединенную нижним концом с той областью, где требуется измерить давление. Жидкость в пьезометре поднимается на высоту h_р под действием давления р₀ на свободной поверхности жидкости и веса столба жидкости высотой h.

Избыточное гидростатическое давление в точке установки пьезо­метра составит р_изб. = γh_р, откуда h_р = р_изб. /γ

Пьезометрическую высоту измеряют в метрах столба жидкости. Длина трубки пьезометра обычно не превышает 3—4 м.

Жидкостные манометры отличаются от пьезометров тем, что в них используется жидкость с определенным удельным весом (вода, спирт, ртуть и др.). Простейшим является U-образный ртутный манометр, схема которого представлена на рис. 5. Высота трубки уменьшается по сравнению с трубкой обычного пьезометра в 13,6 раза, так как удельный вес ртути примерно в 13,6 раза больше удельного веса воды.

Рис. 5. Схема установки ртутного манометра

Для измерения давления применяют манометры и микроманометры. Более совершенным типом манометров являются дифференциальные, которые служат для определения разности давлений в двух точках. Механические манометры пружин- ные и мембранные) применяют для измерения значительного давления: пружинные — до 109 Па, мембранные — до 29*105Па. В пружинных манометрах давление передается на пружину, к которой присоединена стрелка, указывающая на измерительной шкале значение давления.

Вакуумметры (как и манометры) бывают жидкостными и механическими. Конструкция и принцип действия их аналогичны конструкции и принципу действия манометров

4.

5. Закон Паскаля формулируется так:

Давление, производимое на покоящуюся жидкость или газ, передается в любую точку жидкости или газа одинаково по всем направлениям.Закон назван в честь французского учёного Блеза Паскаля.На основе закона Паскаля работают различные гидравлические устройства: тормозные системы, прессы и др.Данный закон является прямым следствием отсутствия сил трения покоя в жидкостях и газах.Закон Паскаля неприменим в случае движущейся жидкости (газа) — в этом случае необходимо пользоваться уравнениями гидродинамики, а также в случае, когда жидкость (газ) находится в гравитационном поле; так, известно, что атмосферное и гидростатическое давление уменьшается с высотой.

Закон сообщающихся сосудов — один из законов гидростатики, гласящий, что в сообщающихся сосудах уровни однородных жидкостей, считая от наиболее близкой к поверхности земли точки, равны.

Рассмотрим два сообщающихся сосуда, в которых находится жидкость плотностью . Давление жидкости в I сосуде расписывается по формуле , где — высота столба в I сосуде. Давление жидкости во II сосуде расписывается аналогично как , где — высота столба во II сосуде. Так как система статична, то давления равны, и ,

6. Плавание тел в жидкости. Закон Архимеда. Рассмотрим тело АВ, погруженное в жидкость (рис. 11).

Рис.11. Схема действия сил на тело погружённое в жидкость

Предположим, что это тело состоит из элементарных вертикальных цилиндров, имеющих бесконечно малую площадь поперечного сечения dω. На каждый из таких цилиндров будут действовать элементар­ные силы гидростатического давления: сверху dP1= γh1dω, а снизу dP2 = γh2dω. Поскольку h2>h1, то элементарные цилиндры будут находиться под действием подъемной элементарной силы dPп = (h2 - h1)γdω Суммируя элементарные подъемные силы, получаем полную подъемную силу Рп

Подъемная сила Р_п равна весу жидкости, вытесненной погруженным в нее телом, и направлена по вертикали снизу вверх. Это положение носит название закона Архимеда. На этом законе основана теория плавания тел. Подъемная сила приложена в центре погруженной части тела, называемом центром водоизмещения.

В теории плавания тел используют два понятия: плавучесть и остойчивость. Плавучесть — это способность тела плавать. Остойчивость — способность плавающего тела восстанавливать нарушенное при крене равновесие после устранения сил, вызвавших крен.

Плавучесть тела. В зависимости от соотношения между весом плавающего тела G и подъемной силой Р_п возможны три состояния тела, погруженного в жидкость. Если G > Р_п — тело тонет. Когда G < Р_п — тело плавает в полупогруженном состоянии и когда G = Р_п — тело плавает в погруженном состоянии.

Остойчивость плавающего тела. При воздействии на плавающее тело внешних сил, например, ветра, крутого поворота, оно будет отклоняться от положения равновесия (давать крен). Если центр тяжести тела «с» расположен ниже центра водоизмещения, появляющаяся при крене пара сил противодействует ему, и после прекращения воздействия внешних сил тело принимает прежнее положение. Такое расположение центров соответствует остойчивому плаванию. Если центр тяжести «с» расположен выше центра водоизмещения, плавание будет неостойчивым. Тело будет выведено из состояния равновесия и уже не способно возвратиться в первоначальное положение, а наоборот, будет все более от него отклоняться. Наконец, при совпадении центров тяжести и водоизмещения тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

7. Рассмотрим три сосуда разной формы, заполненные жидкостью до одного уровня hc. Все сосуды такие, что имеют одинаковую площадь дна.

В соответствии с общей формулой определения силы, действующей на плоскую поверхность

,

можно вычислить силу, действующую на дно сосуда. Для всех трёх сосудов эти силы окажутся одинаковыми и независящими от веса жидкости в сосуде. Но на опору все сосуды будут действовать с разными силами, равными весу сосудов с жидкостью. Этот факт получил названиегидростатического парадокса.

8. Гидравлические машины гидростатического действия. В основу принципа действия многих гидравлических машин положены законы гидравлики. Одним из наиболее широко применяемых в технике законов является закон Паскаля.

Гидравлический пресс (рис. 6) состоит из двух сообщающихся камер, в которых установлены поршни П₁ и П₂ площадью ω₁ и ω₂.

Рис. 6. Схема гидравлического пресса

После заполнения камер жидкостью (обычно техническим маслом) к поршню П1 прикладывают силу Р1. Тогда под поршнем П1 в меньшей камере возникает гидростатическое давление р1 = Р1 / ω1 , которое по закону Паскаля передается на площадь основания большего поршня П2. Гидростатическое давление, будучи направлено нормально к поверхности основания поршня, создает силу Р2 = ω2 * р1 или Р2 = (ω2 / ω1) * Р1

Эта сила будет сжимать тело, помещенное между поршнем П₂ и не­подвижным горизонтальным упором. Таким образом, сила давления Р₁ приложенная к малому поршню П₁ создает сжимающую силу Р₂, превышающую силу Р₁ во столько раз, во сколько площадь ω₂ больше площади ω_1.

Гидравлический домкрат. Подъемы больших грузов на малую высоту можно легко осуществлять с применением гидравлических домкратов. Гидравлический домкрат состоит из цилиндра (сосуда) с большим поршнем и насоса с малым поршнем, который нагнетает в сосуд жидкость. Поршневой насос приводится в действие рычаж­ным устройством. Давление поршня насоса передается жидкостью на большой поршень с грузом, вес которого во много раз превышает силу давления поршня насоса. Принцип работы гидравлического домкрата применяют в буль­дозерах, канавокопателях, автокранах и в других строительных машинах.

9. Для измерения давления используют жидкостные (барометр, пьезометр, вакуумметр, дифманометр), механические (манометр, вакуумметр) и электрические приборы. Рассмотрим принцип действия основных из них.

Барометр состоит из открытой чашки, заполненной ртутью, и стеклянной трубки, верхний конец которой запаян,

	а нижний опущен в чашку под уровень ртути (рис.2.5). В верхней части трубки воздуха нет, поэтому в ней действует давление насыщенных паров ртути . Значение атмосфер-ного давления определяют по формуле
Рисунок 2.5 – Ртутный барометр

(2.9)

где - плотность ртути; h- высота подъема жидкости в трубке.

Пьезометр - это прибор для измерения небольших давлений в жидкости при помощи высоты столба этой жидкости (рис.2.6).

	Он состоит из вертикальной стеклянной трубки, верхний конец которой открыт и сообщается с атмосферой, а нижний присоединен к сосуду, в котором измеряют давление р.
Рисунок 2.6 – Пьезометр

По основному уравнению гидростатики

. (2.10)

Вакуумметр - это U-образная стеклянная трубка, в колене которой имеется жидкость, тяжелее от той, которая

	находится в сосуде. Один конец трубки соединен с сосудом, а второй открыт (рис.2.7). Давление на свободной поверхности жидкости, если трубка присоединена выше этой поверхности, вычисляют по формуле
Рисунок 2.7 – Жидкостной вакууметр

. (2.11)

Пружинный манометр (рис.2.8) состоит из корпуса 5, штуцера 6, манометрической (пружинной) трубки 4, передающе-

	го механизма 3, стрелки 2 и шкалы 1. Жидкость под давлением попадает в штуцер, а затем в трубку. Под действием давления трубка разгибается и перемещается ее свободный конец, связанный со стрелкой прибора.
Рисунок 2.8 – Пружинный манометр

10.Понятие о пьезометрической высоте и вакууме

Различают давление, которое соответствует абсолютному нулю, и давление атмосферное (рис.2.3). Относительно абсолютного нуля давление в любой точки жидкости называется абсолютным .

	Разность между абсолютным давлением и атмосферным давлением называется избыточным давлением и обозначается :
Рисунок 2.3 – Виды давления

(2.5)

Избыточным (манометрическим) называется давление, превышающее атмосферное (см.рис.2.3). Давление, недостающее до атмосферного, или разность между атмосферным и абсолютным давлением , называется вакуумметрическим давлением или вакуумом

. (2.6)

Рассмотрим закрытый сосуд1, заполненный жидкостью, на поверхности которой действует давление , превышающее атмосферное давление . К сосуду присоединена трубка 2, открытая сверху, т.е. сообщающаяся с атмосферой (рис 2.4). Так как давление на поверхности жидкости больше атмосферного, то жидкость в трубке 2 поднимается на некоторую высоту , которая в гидравлике называется пьезометрической высотой, а сама трубка- пьезометром.

Рисунок 2.4- Пьезометрическая плоскость

Пьезометрическая высота определяется из зависимостей (2.2) и (2.5):

. (2.7)

Аналогично определяется вакуумметрическая высота с учетом уравнения (2.6):

. (2.8)

Плоскость П-П, давление во всех точках которой равно атмосферному, называется пьезометрической. Если сосуд открыт, то пьезометрическая плоскость совпадает со свободной поверхностью жидкости.

11. Эпюра давления. Для графического изображения закона изменения гидростатического давления по глубине служат эпюры давления. Площадь эпюры выражает силу давления, а центр тяжести эпюры — это точка, через которую проходит равнодействующая сила давления. При построении эпюр учитывают, что давление направлено нормально к стенке, а уравнение р = р₀ + γh, характеризующее распределение гидростатического давления по глубине, является уравнением прямой. На рис. 7 показаны эпюры гидростатического давления (абсолютного и избыточного), действующего на вертикальную плоскую стенку АВ. Для их построения достаточно отложить в выбранном масштабе гидростатическое давление по горизонтальному направлению, совпадающему с направлением гидростатического давления, на поверхности жидкости и у дна, соединив концы этих отрезков прямой линией. Эпюра абсолютного гидростатического давления представляет собой трапецию, а эпюра избыточного гидростатического давления — треугольник.

Если плоская стенка АВ, на которую действует жидкость, наклонена к горизонту под углом α (рис. 8), то основное уравнение гидростатики принимает следующий вид:

р_абс. = р₀ + γh = р₀ + γL sin α

Рис. 7. Эпюры гидростатического давления, действующего на вертикальную стенку

Рис. 8. Эпюры гидростатического давления, действующего на наклонную стенку

В данном случае эпюры абсолютного и избыточного гидростатического давления представляют собой соответственно наклонную трапецию и наклонный треугольник.

На рис. 9 показана эпюра избыточного гидростатического давления для вертикальной плоской стенки АВ, подверженной действию воды с двух направлений.

Рис.9. Эпюра гидростатического давления, действующего на вертикальную стенку с двух сторон

В данном случае на вертикальную стенку будут действовать параллельные и противоположно направленные силы гидростатического давления, поэтому силы, действующие справа налево, будут вычитаться из сил, действующих слева направо. Получающаяся в результате эпюра OMNB представляет собой вертикальную трапецию. Эпюра гидростатического давления на горизонтальное дно резервуара представляет собой прямоугольник, так как при постоянной глубине h избыточное гидростатическое давление на дно ризб. = γh является постоянным.

Давление жидкости на криволинейную поверхность. Рассмотрим действие избыточного гидростатического давления на криволинейную поверхность АВ (рис.10). Выделим на этой поверхности бесконечно малую площадку dω, центр тяжести которой погружен в жидкость на глубину h. На эту элементарную площадку нормально к криволинейной поверхности будет действовать сила избыточного гидростатического давления dP = γhdω, которую можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, т. е. на силы dP_х и dP_z.

Рис.10. Схема давления жидкости на криволинейную поверхность

Горизонтальная составляющая силы избыточного гидростатического давления равна силе гидростатического давления, под воздействием которого находится вертикальная стенка, равная по площади вертикальной проекции криволинейной поверхности Pх = ωz γhc. Величина её равна площади эпюры гидростатического давления СЕЕ1 умноженной на ширину стенки. Вертикальная составляющая полной силы избыточного давления представлена объёмом призмы АВВ1, который называют телом давления.

Следовательно вертикальная составляющая равна весу жидкости в объёме тела давления. Полная сила избыточного гидростатического давления является равнодействующей её составляющих P_х и P_z и определяется по зависимости:

Р =

ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ

13.Сила давления жидкости на плоские поверхности

Сила давления жидкости на погруженную в нее плоскую поверхность (рис.2.9) равна

(2.12)

	где - гидростатическое давление на свободной поверхности жидкости в резервуаре; - глубина погружения центра тяжести смоченной части плоской поверхности; S-площадь смоченной части плоской поверхности;
Рисунок 2.9 – Схема для определения силы давления жидкости

- гидростатическое давление в центре тяжести поверхности.

Таким образом, полная сила давления на плоскую стенку равна произведению площади этой стенки на величину гидростатичес- кого давления в ее центре тяжести.

Выражение (2.11) можно представить в виде

(2.13)

где (2.14)

(2.15)

Сила представляет собой силу поверхностного давления . Поскольку давление распределено равномерно по всей площади смоченной части поверхности, его равнодействующая приложена в центре тяжести этой поверхности.

Сила обусловлена давлением самой жидкости. Сила приложена в центре давления Д, координату которого определяют по формуле

, (2.16)

где - момент инерции плоской фигуры относительно оси ОХ.

Для прямоугольника (b-ширина, h-высота фигуры), для круга диаметром d .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: