Эллиптический параболоид.

Определение 4.1. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид

где .

Будем считать, что . Если , то эллиптический параболоид --- это параболоид вращения, так как получается вращением параболы

вокруг оси , являющейся осью этой параболы.

Ось является осью симметрии эллиптического параболоида , а плоскости и --- его плоскостями симметрии. Начало координат для эллиптического параболоида является точкой пересечения этой поверхности с ее осью и называется вершиной.

Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Нетрудно видеть, что произвольная такая плоскость пересекает эллиптический параболоид по линии

или

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений, так как . Это означает, что плоскость при не пересекает эллиптический параболоид . Другими словами, эллиптический параболоид лежит в неотрицательном полупространстве относительно плоскости .

Если , то первое уравнение имеет единственное решение , т.е. плоскость имеет с эллиптическим параболоидом только одну общую точку --- вершину.

Если , то, переписав уравнения в виде

видим, что сечением является эллипс с центром в точке , оси которого параллельны прямым и , а полуоси равны

Заметим, что полуоси увеличиваются по мере удаления плоскости сечения от координатной плоскости .

Плоскость пересекает эллиптический параболоид по параболе

а плоскость --- по параболе

Таким образом, числа и --- параметры парабол , , получающихся в сечении параболоида его плоскостями симметрии (эти параболы называются главными сечениями).

Рассмотрим теперь сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выраженными уравнением . Уравнения линии сечения:

или

или

Эти уравнения выражают параболу с вершиной в точке , ось, которой выражается уравнениями и одинаково направленной с осью . Параметр этой параболы равен , т.е. параметру главного сечения эллиптического параболоида.

Таким образом, эллиптический параболоид может быть образован параллельным переносом параболы , при котором вершина параболы перемещается по параболе ; плоскость параболы перпендикулярна плоскости параболы , а оси этих парабол параллельны и одинаково направлены.

Аналогичная картина получается и для сечений эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости .

5 Гиперболический параболоид.

Определение 5.1. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид

где .

Для гиперболического параболоида плоскости и являются плоскостями симметрии, а ось --- осью симметрии. Ось симметрии гиперболического параболоида называется просто его осью. Точка, в которой ось гиперболического параболоида пересекает эту поверхность, называется вершиной. Гиперболический параболоид имеет вершину в начале координат.

Плоскости и , являющиеся для гиперболического параболоида плоскостями симметрии, называются главными плоскостями гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид

в случае имеет только одну ось симметрии (ось ), если же , то параболоид имеет еще две оси симметрии:

В самом деле, если координаты точки удовлетворяют уравнению

то этому же уравнению удовлетворяют координаты точки , симметричной с точкой относительно прямой . Так же доказывается, что прямая является осью симметрии.

Плоскость пересекает гиперболический параболоид по линии, определяемой уравнениями

или

которая является совокупностью двух прямых линий:

и

Плоскость , параллельная плоскости , пересекает гиперболический параболоид по линии, определяемой уравнениями:

Если , то эти уравнения можно переписать в виде

которые определяют гиперболу, расположенную в плоскости с центром в точке , действительная ось которой параллельна оси , а мнимая --- параллельна оси .

Если , то уравнения линии сечения можно представить в виде

которые определяют гиперболу, расположенную в плоскости с центром в точке , действительная ось которой параллельна оси , а мнимая --- параллельна оси .

Плоскость пересекает гиперболический параболоид по параболе

а плоскость --- по параболе

Таким образом, числа и --- параметры парабол , , получающихся в сечении параболоида его плоскостями симметрии (эти параболы называются главными сечениями).

Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выраженными уравнением . Уравнения линии сечения:

или

или

Эти уравнения выражают параболу с вершиной в точке , ось, которой выражается уравнениями и противоположно направленной с осью . Параметр этой параболы равен , т.е. параметру главного сечения гиперболического параболоида.

Таким образом, гиперболический параболоид может быть образован параллельным переносом параболы , при котором вершина параболы перемещается по параболе ; плоскость параболы перпендикулярна плоскости параболы , а оси этих парабол параллельны и противоположно направлены.

Аналогичная картина получается и для сечений гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости .

Рассмотренные сечения дают представление о форме гиперболического параболоида

Конус второго порядка.

Определение 6.1. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид

Будем считать, что . Начало координат является центром симметрии и называется вершиной конуса; оси координат являются осями симметрии (главные оси); координатные плоскости являются плоскостями симметрии (главные плоскости). Осью конуса называют обычно ось .

Докажем основное свойство конуса:

ТЕОРЕМА 6.1. Если на конусе лежит точка (не совпадающая с вершиной ), то на нем лежат все точки прямой , проходящей через вершину и эту точку .

Доказательство. В самом деле, если --- произвольная точка, лежащая на прямой , то

и потому

Таким образом, поверхность образована прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому для представления вида этой поверхности достаточно рассмотреть ее сечение какой-нибудь плоскостью , параллельной плоскости . В сечении получится эллипс, уравнения которого

Центр этого эллипса лежит на оси в точке , его оси параллельны координатным осям и .

Следовательно, поверхность образована прямыми, соединяющими начало координат со всеми точками этого эллипса.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: