Однополостный гиперболоид.

Эллипсоид.

Определение 1.1. Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе
координат, имеет вид

Будем считать, что . Из уравнения следует, что если точка лежит на эллипсоиде, то на нем лежат и точки с любым набором знаков плюс и минус. Отсюда следует, что для эллипсоида начало координат является его центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются главными осями; координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными
плоскостями. Если , то эллипсоид называется трехосным. Если ( ), то эллипсоид называется вытянутым (сжатым) эллипсоидом вращения. Каждый из них получается вращением эллипса

вокруг большой (малой) его оси. Если , то эллипсоид является сферой радиуса с центром в начале координат.

Определение 1.2. Вершинами трехосного эллипсоида называются точки пересечения эллипсоида с его главными осями.

Трехосный эллипсоид имеет шесть вершин .
Из уравнения следует, что если точка лежит на эллипсоиде, то ее координаты должны удовлетворять следующим условиям . Это означает, что эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами .

Координатные плоскости пересекают эллипсоид по линиям, заданным уравнениями

Линии , , --- эллипсы; эти эллипсы, т.е. сечения эллипсоида его главными плоскостями, называются главными сечениями.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными какой-нибудь координатной плоскости, например плоскостями, параллельными плоскости , т.е плоскостями, заданными уравнением , где --- произвольное действительное число. Уравнения линий сечения будут

или

Если , то первому уравнения системы не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел , то есть плоскость при не пересекает эллипсоид .

При первое уравнение системы имеет вид

откуда . Таким образом, плоскости встречают эллипсоид в его вершинах .

Наконец, если , то систему можно переписать в виде

или

Последние уравнения являются уравнениями эллипса, лежащего в плоскости сечения ; центр этого эллипса --- точка , оси симметрии параллельны осям и , а полуоси равны

Рассмотренные сечения дают представление о форме эллипсоида.

Однополостный гиперболоид.

Определение 2.1. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид

Будем считать, что . Также как в предыдущем параграфе доказывается, что для однополостного гиперболоида начало координат является его центром симметрии (центр); оси координат являются осями симметрии (главные оси); координатные плоскости являются плоскостями симметрии (главные плоскости). Если , то однополостный гиперболоид называется однополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы

вокруг ее мнимой оси.

Определение 2.2. Вершинами однополостного гиперболоида называются точки пересечения однополостного гиперболоида с его главными осями.

Однополостный гиперболоид имеет четыре вершины .

Плоскость пересекают однополостный гиперболоид по эллипсу, заданному уравнениями

называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида .

Плоскость пересекают однополостный гиперболоид по гиперболе, заданной уравнениями

а плоскость --- по гиперболе, заданной уравнениями

Линии , , --- сечения гиперболоида его главными плоскостями, называются главными сечениями.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями, заданными уравнением , где --- произвольное действительное число. Уравнения линий сечения будут

или

Этими уравнениями выражается эллипс, лежащий в плоскости сечения ; центр этого эллипса --- точка , оси симметрии параллельны осям и , а полуоси равны

Таким образом, горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид рассекается плоскостями, параллельными плоскости .

Плоскость , параллельная координатной плоскости , пересекает однополостный гиперболоид по линии, уравнения которой имеют вид

или

Если , то уравнениями определяется гипербола, лежащая в плоскости сечения с центром в точке ,
действительная ось, которой параллельна оси , а мнимая --- оси . Полуоси этой гиперболы равны --- действительная полуось и --- мнимая полуось.

При , уравнения принимают вид

Уравнения

являются уравнениями двух пересекающихся прямых и :

--- прямая

--- прямая .

Аналогично уравнения

являются уравнениями двух пересекающихся прямых и :

--- прямая

--- прямая .

Сечения плоскостями , параллельными плоскости , рассматриваются аналогично. Все эти сечения дают представление
о форме поверхности однополостного гиперболоида.

3 Двуполостный гиперболоид.

Определение 3.1. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид

Начало координат является его центром симметрии (центр); оси координат являются осями симметрии (главные оси); координатные плоскости являются плоскостями симметрии (главные плоскости). Если , то двуполостный гиперболоид называется двуполостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы

вокруг ее действительной оси .

Определение 3.2. Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки пересечения двуполостного гиперболоида с его главными
осями.

Двуполостный гиперболоид имеет две вершины .

Плоскости и пересекают двуполостный гиперболоид по гиперболам:

Плоскость не пересекает двуполостный гиперболоид . Линии , --- сечения гиперболоида его главными плоскостями, называются главными сечениями.

Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями, заданными уравнением , где --- произвольное действительное число. Уравнения линий сечения будут

или

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений, следовательно, в этом случае плоскость не пересекает поверхность.

При , получаем

откуда . Таким образом, плоскости встречают двуполостный гиперболоид в его вершинах.

Наконец, если , то уравнения сечения можно переписать в виде

Этими уравнениями задается эллипс, лежащий в плоскости сечения ; центр этого эллипса --- точка , оси симметрии параллельны осям и , а его полуоси равны

которые увеличиваются по мере удаления секущей плоскости от плоскости .

Из рассмотрения данных сечений следует, что двуполостный гиперболоид состоит из двух частей, принадлежащих в различным полупространствам, относительно плоскости .

Плоскость , параллельная координатной плоскости , пересекает двуполостный гиперболоид по линии, уравнения которой имеют вид

или

т. е. по гиперболе

лежащей в плоскости сечения с центром в точке , действительная ось, которой параллельна оси ,а мнимая --- оси .

Аналогично исследуются сечения гиперболоида плоскостями .

Все эти сечения дают представление о форме двуполостного гиперболоида.

12 3 4

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: