РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система нелинейных уравнений с р неизвестными обычно имеет вид

f_i (x₁, .... х_р) = 0, i=1, .... р,

где хотя бы одна функция f_i нелинейная.

Для решения такой системы в редких случаях можно применить метод последовательного исключения неизвест­ных, который приводит решение системы к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным с последующей подстановкой.

Например, для решения нелинейной системы

x y² +4 = 0,

x - y² +5 = 0

из второго уравнения найдем х = у² — 5 и подставим в первое, получим уравнение с одним неизвестным: у²(у² - 5) + 4 = 0, корни которого

y₁ = 1, у₂ = - 1, y₃ =2, y₄ = -2.

Следовательно, решениями системы являются точки

A (-4, 1), В(- 4, -1), С( -1, 2), D( - 1, -2).

Однако в подавляющем большинстве случаев нели­нейные системы решают итерационными методами.

Метод простой итерации

Метод простой итерации применим к системам, кото­рые предварительно приведены к виду x₁ = φ₁ (x₁, .... х_р)

…………………………………………. (6.1)

x_p = φ_p (x₁, .... х_р)

или, в векторной форме, х = Ф(х). (6.2)

Пусть x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, .... х_р⁽⁰⁾ ) начальное приближение. Последующие приближения в методе простой итерации находятся по формулам

x₁^(m+)1 = φ₁ (x₁^(m), .... х_р^(m) ),

x₁^(m+1) = φ₁ (x₁^(m), .... х_р^(m) _,), (6.3)

……………….….

x₁^(m+1) = φ₁ (x₁^(m), .... х_р^(m) ),

или, в векторной форме, х^(m+1)= Ф(х^(m) .(6.4)

Если последовательность векторов х^(т) = (x₁^(m), .... х_р^(m) )

сходится к вектору x^* = (x₁^*, ..., х_p*), а функции φ_i (x) непрерывны, то вектор х* является решением системы (6.2). Для получения условий сходимости метода итера­ций введем в р-мерном векторном пространстве какую-либо норму (например, кубическую, октаэдрическую или сферическую).

Теорема 3. Пусть для уравнения (6.2) и начального приближения х⁽⁰⁾ выполнены условия:

1) для х', х" из сферы

||х-х⁽⁰⁾|| ≤ δ (6.5)

вектор-функция Ф удовлетворяет условию ||Ф (х')-Ф (х")|| ≤ q ||х'-х"||, (6.6)

где 0 < q < 1;

2) ||Ф (х⁽⁰⁾) – х⁰|| ≤ (1 – q) δ ,

Тогда уравнение (6.2) в сфере (6.5) имеет единствен­ное решение х*, к нему сходится последовательность (6.4) и погрешность метода оценивается неравенством

||х^(m)-х^*|| ≤ ||Ф (х⁽⁰⁾) – х⁰|| . (6.7)

Сходимость метода итераций считается хорошей, если q ≤ 1/2

Приведем достаточное условие, обеспечивающее вы­полнение неравенства (6.6) в кубической норме. Сфера (6.5) в кубической норме является р-мерным кубом с центром в точке x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, ..., х⁽_р⁰⁾):

||х-х⁽⁰⁾|| = . (6.8)

Предположим, что в кубе (6.8) функции φ_i ( i = 1, ..., р ) имеют непрерывные частные производные φ_i / x_k, k = 1,... ..., р. Неравенство (6.6) будет выполнено, если φ_i / x_k, удовлетворяют в кубе (6.8) условию

(6.9)

Пример. Методом простой итерации найти реше­ние системы

f₁ (x, y) = 2x – sin 0,5 (x - y) = 0,

f₂ (x, y) = 2y – cos 0,5 (x + y) = 0,

с точностью ε = 10 ^-2.

Решение. Графически отделяем корни системы. Из рис. 5.1 видно, что корень единственный и расположен в квадрате |х| ≤ 0,5, |у — 0,5| ≤ 0,5.

Рис. 6.1

Преобразуем данную систему к виду

х = 0,5 sin 0,5 (х - y) ≡ φ₁ (х, у),

y = 0,5 cos 0,5 (х + y) ≡ φ₂ (х, у).

Убеждаемся, что неравенство (6.9) выполнено q ≤ 0,5. За начальное приближение возьмем х_о = 0, у_о = = 0,5. Дальнейшие вычисления отражены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Метод Ньютона

Метод Ньютона применяется к решению систем урав­нений вида

f_i(х₁..., х_р) = 0, I = l , ..., р, (6.10)

или, в векторной форме,

F(x) = 0. (6.11)

Введем матрицу Якоби J(х) для функций f_i(х), I = l, ..., р, которые будем предполагать непрерывно дифференцируемыми:

…

J(x) = … .(6.12)

……………………………

…

Пусть задано начальное приближение х⁽⁰⁾. Вместо нелинейного уравнения (6.11) решаем линейное урав­нение

F(x⁽⁰⁾) – J(х⁽⁰⁾) (х-х⁽⁰⁾) = 0.(6.13)

Если det J (х⁽⁰⁾) ≠ 0, то уравнение (6.13) имеет единст­венное решение, которое обозначим х⁽¹⁾. Здесь удобно решать уравнение (6.13) относительно х⁽⁰⁾ = х - х⁽⁰⁾, а затем вычислять x^(l) = x⁽⁰⁾ + x⁽⁰⁾. Если найдено x^(т) то х^{(m + 1)} вычисляем по формуле x^(m+1) = х^(m) + х^(m), а по­правку х^(m) = ( х₁^(m), ..., х_p ^(т)) находим из системы

F(x^(m)) – J(х^(m)) (х-х^(m)) = 0.

которая в координатной форме имеет вид

f₁(х^(m)) + х₁^(m)+ … + х_p^(m) = 0,

(6.14)

f_p(х^(m)) + х₁^(m)+ … + х_p^(m) = 0.

Для системы второго порядка

f (x, y) = 0,

g (x, y) = 0

последовательные приближения по методу Ньютона вы­числяются по формулам

x_n+1 = x_n - , y_n+1 = y_n - ,

где

f {х_п, у_п) f_y '(х_п, у_п)

А_n =

B_n =

J_n = ≠ 0.

g_x'(x_n, y_n) g_y'(x_n, y_n)

Метод Ньютона сходится, если начальное приближе­ние выбрано удачно и матрица J(х*) невырожденна. На практике итерации обычно оканчивают, если ||x⁽ⁿ⁺¹⁾- х⁽ⁿ⁾|| ≤ ε. Для выбора начального приближения применяют графический метод, метод проб, метод табу­лирования и т. д.

Рис. 6.2

Пример. Найти решение системы

f (x, y) = х ³ - у² – 1 = 0,

g (x, y) = ху³ - у - 4 = 0

методом Ньютона с точностью ε =10^-3.

Решение. Графически находим начальное прибли­жение х_о=1,5, y₀ = 1,5 (рис. 6.2).

Матрица Якоби име­ет вид

3 х² - 2у

J(x,y)= .

у³ 3x у² - 1

Дальнейшие вычисления отражены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Госиздат, 1962.- 639с.

2. Быховцев В.Е., Быховцев А.В., Бондарева В.В. Компьютерное моделирование систем нелинейной механики грунтов. -Гомель: УО «ГГУ им.

Ф. Скорины», 2002.-215с.

3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:Наука, 1970.

4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и за дачах. - М.:Наука, 1972.

5. Крылов В.И.,Бобков В.В., Монастырный П.И. Выислительные методы. - М.: Наука, 1977.- 399с.

6. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем (прямые методы). - М.: Наука, 1988.- 160с.

7. Фаддеев А.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Госиздат, 1960.- 656с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вергасов В.А. и др. Вычислительная математика. -М.: Недра, 1976.- 230с.

2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы.- М.:Наука, 1966.

3. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.:Наука, 1982.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: