Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Если прямые и заданы общими уравнениями и , то угол между ними находится из формулы

.

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид ,

а условие их параллельности .

Если прямые заданы уравнениями и , то угол между ними находится по формуле .

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид , а условие иx параллельности .

Расстояние от точки до прямой, заданной в общем виде, вычисляется по формуле .

Решение типовых задач

Пример.Даны вершины треугольника ABC: A(-4;2), B(8;-6), C(2;6).

Найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты CH;

3) уравнение медианы AM;

4) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

5) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

6) расстояние от точки C до прямой AB.

Решение. 1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Получим уравнение стороны AB: , откуда или .

2) Высота опускается из точки C на сторону AB, угловой коэффициент которой . Если обозначим угловой коэффициент стороны CH через , то согласно условию перпендикулярности . Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку C: . Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную AB, придав значение . Получим или .

3) Предварительно найдем координаты середины М отрезка ВС: , . По известным двум точкам составляем уравнение прямой АМ:

или .

4) Точку пересечения N медианы АМ и высоты CH находим из совместного решения им соответствующих уравнений:

Решив эту систему, получим .

5) Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку С: . Выберем из него прямую, параллельную прямой AB, придав значение . Получим уравнение искомой прямой в виде

или .

6)Расстояние от точки С до прямой AB вычисляем по формуле

.

Замечание. Предложенное решение задачи можно считать наиболее оптимальным, так как удачный выбор всевозможных уравнений позволил до минимума сократить количество операций. На практике чаще всего требуется просто решить задачу на основании каких-то данных. Тогда при решении задачи можно использовать только те уравнения, которые Вам известны. Например, воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проследим за тем, как изменяются рассуждения при решении отдельных пунктов задачи.

1) Найдем уравнение стороны AB, учитывая то, что прямая проходит через две точки. Последнее означает, что координаты точек A и B должны удовлетворять уравнению . Подставив координаты этих точек в уравнение, получим систему для определения коэффициентов и : Решив ее, получим , .

Подставим значения коэффициентов в уравнение и получим

или .

2) Уравнение высоты CH также ищем в виде . По условию прямая CH проходит через точку C. Значит справедливо равенство . Далее учтем, что эта же прямая перпендикулярна AB. Это означает, что .

Решим систему Откуда имеем , .

Уравнение высоты CH запишется в виде или .

3) Согласно тому, что прямая АМ проходит через две точки, записываем систему равенств:

Решив систему, получим , .

Тогда уравнение АМ будет или .

4) Запишем уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB, основываясь снова на уравнении . Так как прямая проходит через точку C, то справедливо равенство . Согласно условию параллельности имеем . Решаем систему уравнений Имеем , . Тогда уравнение искомой прямой будет или .

5) Найдем предварительно точку K пересечения прямых CH и AB из решения системы уравнений

Имеем . Далее находим расстояние от точки C до прямой AB как расстояние между точками C и K:

.

Линии второго порядка

Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты x и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.

Окружностью называется множество точек на плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром. Окружность радиусом R с центром в начале координат задается уравнением

.

Если центр сместить в точку , то уравнение примет вид

.

Эллипсс полуосями a и b симметричный относительно осей координат определяется простейшим (каноническим) уравнением

.

Точки и , расположенные на оси Ox и отстоящие на расстоянии от начала координат, называются фокусами эллипса. В частном случае, если a=b, то фокусы и совпадают с центром, а каноническое уравнение описывает окружность радиуса a с центром в начале координат.

Число называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его сплюснутости (при эллипс вырождается в окружность). Прямые называются директрисами эллипса.

Для любой точки M эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство эллипса часто принимается за определение эллипса.

Гиперболас действительной полуосью a, мнимой полуосью b, с центром в начале координат имеет следующее каноническое уравнение:

.

Фокусы гиперболы – точки и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, больше 1.

Прямые – асимптоты гиперболы, а прямые - ее директрисы. Для любой точки M гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Параболас вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ox, имеет следующее каноническое уравнение: , где - параметр параболы. При ветви параболы направлены вправо, при – влево. Точка - фокус, а прямая – директриса параболы. Парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстающих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.

Уравнения вида , определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые параллельно смещены относительно системы координат Oxy таким образом, что центр эллипса, гиперболы и вершина параболы находятся в точке .

Кривые эллипс, гипербола и парабола обладают общим свойством: отношение расстояния от любой точки M кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой (называемой директрисой) есть величина постоянная (называемая эксцентриситетом). Это свойство можно принять за определение кривых второго порядка. При этом для эллипса , для параболы , для гиперболы .

Решение типовых задач

Пример. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек и равен 4.

Решение. Пусть произвольная (текущая) точка искомой кривой. Запишем аналитически (в виде формулы) то свойство, которому должны удовлетворять координаты любой точки кривой. Найдем расстояние от точки до заданных точек и : ; . Согласно условию задачи или

.

Упростим это равенство, выполняя следующие операции: ; ; ; ; .

Окончательно получим уравнение кривой , известное из школьного курса как уравнение гиперболы, для которой оси координат являются асимптотами.

Пример. Даны точка и прямая . В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка которой:

а) в раза ближе к точке , чем к данной прямой;

б) в раза дальше от точки , чем от данной прямой;

в) равноудалена от точки и прямой .

Решение: а) Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Ее координаты . Тогда согласно условия через координаты точек это равенство запишется в виде

.

Произведем упрощение полученного равенства:

;

; ;

;

;

.

Следовательно, искомая линия - эллипс. Точка совпадает с его правым фокусом, а прямая – правая директриса.

б) Согласно условию задачи . Следовательно, ;

;

;

;

,

т.е. данная линия – гипербола, для которой точка является левым фокусом, а прямая - левой директрисой.

в) По условию . Следовательно,

;

,

.

Получили уравнение параболы с фокусом в точке и директрисой .

Пример. Составить канонические уравнения:

а) эллипса, расстояние между фокусами которого , а точка лежит на кривой;

б) гиперболы с действительной полуосью равной 8 и эксцентриситетом ;

в) параболы, имеющей директрису .

Решение. а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи . Для эллипса выполняется равенство , откуда . Точка лежит на кривой, поэтому должно выполняться равенство .

Значения полуосей эллипса находим из системы уравнений Эта система преобразуется к виду

Из первого уравнения имеем . Исключим из второго уравнения: , , . Тогда . Окончательно имеем .

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию действительная полуось . Для гиперболы справедливо равенство , или . В свою очередь . Если учесть, что , то .

На основании предыдущего равенства получим . Искомое каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

в) В рассматриваемом случае каноническое уравнение параболы должно иметь вид , а уравнение ее директрисы . Согласно условию уравнение директрисы , поэтому , откуда . Искомое каноническое уравнение параболы запишется в виде .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: