Решение. Объём пирамиды найдем, исходя из геометрического свойства

смешанного произведения:

Высоту пирамиды найдем из формулы

откуда

Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия на основе метода координат изучает геометрические объекты средствами алгебры. При этом геометрическим объектам сопоставляются уравнения (системы уравнений) так, что геометрические отношения (свойства) фигур выражаются в свойствах их уравнений.

Уравнение называется уравнением поверхности (линии) в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности (линии), и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на этой поверхности (линии).

Понятие уравнения геометрического объекта дает возможность решать геометрические задачи алгебраическими методами, не прибегая к геометрическим построениям. Например, задача нахождения точек пересечения двух линий, определяемых уравнениями и , сводится к алгебраической задаче решения системы этих уравнений.

Плоскость и прямая в пространстве

Рассмотрим геометрические объекты, которые описываются линейными алгебраическими уравнениями.

Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана одним из уравнений:

1) – общее уравнение плоскости;

2) – уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному

вектору ;

3) - уравнение плоскости в отрезках, где – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях соответственно;

4) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой, можно записать в виде

или ;

5) – нормальное уравнение плоскости, где направляющие косинусы вектора , перпендикулярного плоскости; – расстояние от начала координат до плоскости.

Анализируя все перечисленные уравнения плоскости, приходим к выводу: всякое уравнение первой степени относительно координат точки пространства изображает плоскость, и, наоборот, всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени, содержащим три независимых параметра.

Если в указанном уравнении отсутствует свободный член , то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из координат , то плоскость параллельна соответствующей оси координат; если одновременно отсутствуют свободный член и член с одной из координат, то плоскость проходит через соответствующую ось. Если отсутствуют члены с двумя координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая содержит соответствующие оси. Если отсутствуют член уравнения с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей.

ПрямаяL в пространстве может быть задана:

1) общими уравнениями

как линия пересечения двух непараллельных плоскостей;

2) каноническими уравнениями

как прямая, проходящая через точку параллельно

направляющему вектору ;

3) параметрическими уравнениями

4) уравнениями , как прямая, проходящая через две заданные точки и .

Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве

Пусть имеем две плоскости

с нормальными векторами и .

Определим угол между плоскостями и их взаимное расположение:

а) Величина угла между плоскостями P₁и Р₂вычисляется по формуле .

б) Плоскости P₁и Р₂ параллельны (перпендикулярны), если их нормальные векторы коллинеарны (ортогональны): или ;

или .

Расстояние d от точки до плоскости вычисляется по формуле:

Пусть плоскость P задана уравнением , а прямая L уравнениями .

Определим угол между прямой и плоскостью, и их взаимное расположение:

а) Угол между прямой L и плоскостью P, как угол между этой прямой и ортоганальной проекцией ее на плоскость P, вычисляется по формуле .

б) Условие параллельности прямой и плоскости:

т.е.

в) Условие перпендикулярности прямой к плоскости: , т.е. .

Пусть две прямые L₁и L₂ заданы уравнениями

, .

Установим их взаимное расположение:

а) Угол между прямыми L₁и L₂ вычисляется по формуле

б) Условие перпендикулярности двух прямых: т.е. .

в) Условие параллельности двух прямых: , т.е. .

Решение типовых задач

Пример.Написать уравнение плоскости P, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если .

Решение: а) Пусть – текущая точка плоскости P. Вывести уравнение плоскости – это значит записать аналитически условие, при котором произвольная точка (текущая точка) будет принадлежать этой плоскости. Рассмотрим взаимное расположение произвольного вектора, принадлежащего плоскости и нормального вектора плоскости . Очевидно, что точка , когда указанные векторы ортогональны. Условием ортогональности этих векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т.е. . Записав это равенство через координаты векторов, получим уравнение искомой плоскости или .

б) Эту же задачу можно решить используя какое-либо уравнение плоскости. При этом решение задачи будет настолько рациональным, насколько удачно выбрано уравнение. Если его взять в виде как уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , то, если подставить вместо координаты точки , а в качестве нормального вектора взять вектор , то получим то же уравнение плоскости.

Пример. Написать уравнение плоскости P, проходящей через две точки и параллельно вектору .

Решение. а)Пусть - текущая точка плоскости. Чтобы записать условие ее принадлежности плоскости P, векторизуем задачу. Запишем координаты векторов и . Точка будет принадлежать плоскости, если векторы , и компланарны, т.е. когда . Выразим это условие через координаты векторов: . Раскрыв определитель, получим уравнение плоскости вида .

б) Решение задачи будет более простым, если воспользоваться общим уравнением плоскости . В этом уравнении четыре коэффициента подлежат определению. Первые три из них являются координатами нормального вектора, в качестве которого можно взять вектор

Уравнение плоскости примет вид . Коэффициент D определяем из условия того, что указанная плоскость проходит через точку . Подставив значения ее координат в уравнение плоскости, получим равенство , откуда . Окончательно получим то же уравнение плоскости.

Пример. Найти угол между плоскостью P₁, проходящей через три точки , , и плоскостью P₂, заданной уравнением .

Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Поэтому

Найдем нормальный вектор плоскости P₁ через векторы , . Очевидно, в качестве этого вектора можно взять вектор

или ему коллинеарный вектор . Нормальным вектором плоскости P₂ является вектор . Угол между плоскостями определим из равенства

откуда

Пример. Прямая L задана общими уравнениями: Написать для этой прямой канонические, параметрические уравнения и уравнения в проекциях. Найти следы этой прямой на координатных плоскостях.

Решение. Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы

Решением этой системы является пара чисел .

В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качастве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где , - нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,

Запишем канонические уравнения прямой: .

Обозначив равные отношения буквой t, получим параметрические уравнения прямой:

Полученная ранее пропорция эквивалентна системе трех уравнений: или

описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно.

Чтобы найти следы прямой на координатных плоскостях, полагаем в общих уравнениях прямой последовательно , , . Получим

системы уравнений:

Решив их, найдем следы прямой на координатных плоскостях: , .

Замечание. Канонические уравнения прямой легко получить, записав уравнение прямой, проходящей через любые две точки, лежащие на этой прямой. Чтобы выбрать одну из них мы предположим, что , и получим точку . Затем положим и придем к системе

решив которую, определим координаты другой точки .

Уравнение прямой запишем в виде

или .

Пример. Показать, что прямые

L₁: и L_2:

параллельны и найти расстояние .

Решение. Направляющим вектором прямой L₂будет вектор . Он ортогонален как вектору , так и вектору , которые являются нормальными векторами соответствующих плоскостей. Действительно, легко убедиться, что скалярные произведения и . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку , принадлежащую прямой L₂, перпендикулярно этой прямой.

Ее уравнение или .

Находим точку M₁пересечения этой плоскости с прямой, заданной общими уравнениями, т.е. решим систему уравнений:

Решение ее будет тройка чисел , являющаяся координатами точки . Определим расстояние между точками : .

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости Oxy может рассматриваться как линия пересечения двух плоскостей и , т.е.

или

Эта система определяет линию (прямую) пересечения плоскости Oxy плоскостью , параллельной оси Oz.

Вектор нормали плоскости одновременно является вектором нормали прямой, заданной последней системой уравнений.

Если заведомо известно, что прямая рассматривается на плоскости Oxy, то второе уравнение системы опускается. Тогда прямая в R²задается одним уравнением вида , которое называется общим уравнением прямой на плоскости, а ее нормальный вектор записывается в виде двумерного вектора .

Из этих рассуждений следует, что в различных по размерности пространствах одно и то же уравнение может описывать различные геометрические объекты. В рассмотренном случае линейное уравнение в пространстве R³ определяет плоскость, параллельную оси Oz, а в пространстве R² на координатной плоскости Oxy оно определяет прямую – след плоскости на плоскости .

На основании сказанного легко получить всевозможные уравнения прямой на плоскости, исходя из аналогичных уравнений в пространстве:

1) каноническое уравнение , где - точка, через которую проходит прямая, -ее направляющий вектор;